Seja T: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por T\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=3 x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}. Determine a forma quadrática q: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} associada a T.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação bilinear T:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
T\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr)=3x_1x_2 - y_1y_2
e pede a forma quadrática associada a T. O conteúdo envolve formas bilineares e formas quadráticas, usando a relação q(v)=T(v,v).

Passo 2

Pela definição, a forma quadrática associada a uma forma bilinear T é a função q:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
q(v)=T(v,v).

Passo 3

Seja v=(x,y)\in\mathbb{R}^2. Então
q\bigl((x,y)\bigr)=T\bigl((x,y),(x,y)\bigr) =3\cdot x\cdot x - y\cdot y =3x^2 - y^2.

Resposta

A forma quadrática associada é
q(x,y)=3x^2 - y^2.

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