Identifique a curva dada pelo conjunto imagem da seguinte função vetorial:
r2: R R^2 dada por r2(t)=(t-3,2 t-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre identificar que tipo de curva é representada pela função vetorial r2(t) = (t-3, 2t-1). Estamos lidando com Geometria Analítica, especificamente com funções paramétricas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como as coordenadas x e y estão relacionadas através do parâmetro t .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função vetorial nos diz. Ela nos dá as coordenadas x e y em função de t :
x = t - 3
y = 2t - 1
Nossa missão é eliminar o parâmetro t para encontrar uma relação direta entre x e y .

Passo 3

Começando com a equação de x :
x = t - 3
Podemos resolver essa equação para t :
t = x + 3

Passo 4

Agora que temos t em termos de x , vamos substituir esse valor na equação de y :
y = 2t - 1
y = 2(x + 3) - 1

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para y :
y = 2x + 6 - 1
y = 2x + 5

Passo 6

Agora, temos uma equação direta relacionando y e x :
y = 2x + 5
Essa é a equação de uma reta no plano cartesiano, onde a inclinação é 2 e o intercepto no eixo y é 5.

Resposta

A curva representada pela função vetorial r2(t) = (t-3, 2t-1) é uma reta no plano, dada pela equação y = 2x + 5.

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