Resolva a equação da transferência de calor, conforme a equação abaixo e suas restrições. Use séries de fourier.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação do calor unidimensional
no intervalo
0<x< L com
L=2 , sujeita às condições de contorno
e à condição inicial em
t=0
Para resolver, vamos usar separação de variáveis e a expansão em séries de Fourier senoidais.
Passo 2
Assumimos solução da forma
u(x,t)=X(x),T(t) . Substituindo na PDE obtemos
e daí
onde
lambda é constante de separação.
Passo 3
Isso gera dois problemas ordinários:
As condições
u(0,t)=0 e
u(2,t)=0 implicam
X(0)=0 e
X(2)=0 . Da teoria de Sturm–Liouville segue que
e
Passo 4
A solução geral é combinação linear dos modos:
Os coeficientes
Bn vêm impondo a condição inicial
u(x,0)=f(x) .
Passo 5
Pela ortogonalidade das senóides em
[0,2] temos
Como
f(x)=x em
0<x<1 e
0 em
1<x<2 , reduzimos a
Passo 6
Para calcular
In=integral0^1xsin!l(a xr),dx com
a=tfracnpi2 ,
fazemos integração por partes:
fazemos integração por partes:
Substituindo
a=tfracnpi2 obtemos
Passo 7
Usando os valores alternados de
sin(tfracnpi2) e
cos(tfracnpi2) obtemos separadamente: