5(1,5) Resolva a equação da transferência de calor, conforme a equação abaixo e suas restrições. Use séries de fourier.
& u(0, t)=0, u(L, t)=0, L=2, t>0 & u(x, 0)=u(x, 0)= x, & 0<x<L2 0, & L2<x<L

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor unidimensional
partial upartial t = partial^2 upartial x^2,
no intervalo 0<x< L com L=2, sujeita às condições de contorno
u(0,t)=0, u(2,t)=0, t>0,
e à condição inicial em t=0
u(x,0)= x,&0<x<1, 0,&1<x<2
Para resolver, vamos usar separação de variáveis e a expansão em séries de Fourier senoidais.

Passo 2

Assumimos solução da forma u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na PDE obtemos
X(x),T'(t)=X''(x),T(t)
e daí
T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
onde lambda é constante de separação.

Passo 3

Isso gera dois problemas ordinários:
X''+lambda,X=0, T'+lambda,T=0
As condições u(0,t)=0 e u(2,t)=0 implicam X(0)=0 e X(2)=0. Da teoria de Sturm–Liouville segue que
lambdan=l(tfracnpi2r)^2, Xn(x)=sin!l(tfracnpi x2r), n=1,2,dots
e
Tn(t)=exp!l(-l(tfracnpi2r)^2 tr)

Passo 4

A solução geral é combinação linear dos modos:
u(x,t)=sumn=1^infty Bn sin!l(tfracnpi x2r) exp!l(-l(tfracnpi2r)^2 tr)
Os coeficientes Bn vêm impondo a condição inicial u(x,0)=f(x).

Passo 5

Pela ortogonalidade das senóides em [0,2] temos
Bn=22integral0^2f(x)sin!l(tfracnpi x2r),dx =integral0^2f(x)sin!l(tfracnpi x2r),dx
Como f(x)=x em 0<x<1 e 0 em 1<x<2, reduzimos a
Bn=integral0^1xsin!l(tfracnpi x2r),dx

Passo 6

Para calcular
In=integral0^1xsin!l(a xr),dx com a=tfracnpi2,
fazemos integração por partes:
In =l[-xcos(ax)ar]0^1 +integral0^1cos(ax)a,dx =-cos(a)a+sin(a)a^2
Substituindo a=tfracnpi2 obtemos
Bn =-cos!l(tfracnpi2r)tfracnpi2 +sin!l(tfracnpi2r)l(tfracnpi2r)^2 =-2cos(tfracnpi2)npi +4sin(tfracnpi2)n^2pi^2

Passo 7

Usando os valores alternados de sin(tfracnpi2) e cos(tfracnpi2) obtemos separadamente:
se (n=2m), B2m =-2(-1)^m2mpi =(-1)^m+1mpi,
se (n=2m-1), B2m-1 =4(-1)^m-1(2m-1)^2pi^2

Resposta

boxed u(x,t) =summ=1^infty 4(-1)^,m-1(2m-1)^2pi^2 sin!l(tfrac(2m-1)pi x2r) e^-l(tfrac(2m-1)pi2r)^2 t ;+;summ=1^infty (-1)^,m+1mpi sin!l(mpi xr) e^-(mpi)^2 t

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