Identifique e descreva as superfícies abaixo:
x^2+4 y^2+8 x-8 y-4 z+28=0;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação:
x^2 + 4 y^2 + 8x - 8y - 4z + 28 = 0
O objetivo é identificar e descrever a superfície representada por essa equação. Para isso, precisamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadricas, e técnicas como completar o quadrado para simplificar a equação.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para agrupar os termos semelhantes:
x^2 + 8x + 4y^2 - 8y - 4z + 28 = 0
Aqui, temos termos quadráticos em x e y, termos lineares em x, y e z, e um termo constante.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis x e y. Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão de uma superfície quadrica.
Para x:
x^2 + 8x
Completa o quadrado adicionando e subtraindo (82)^2 = 16:
(x^2 + 8x + 16) - 16 = (x + 4)^2 - 16
Para y:
4y^2 - 8y
Primeiro, fatoramos o 4:
4(y^2 - 2y)
Completa o quadrado dentro do parêntese adicionando e subtraindo (22)^2 = 1:
4[(y^2 - 2y + 1) - 1] = 4(y - 1)^2 - 4

Passo 4

Substituímos as expressões completadas na equação original:
(x + 4)^2 - 16 + 4(y - 1)^2 - 4 - 4z + 28 = 0
Agora, somamos os termos constantes:
-16 - 4 + 28 = 8
Então, a equação fica:
(x + 4)^2 + 4(y - 1)^2 - 4z + 8 = 0

Passo 5

Isolamos o termo com z:
-4z = - (x + 4)^2 - 4(y - 1)^2 - 8
Multiplicamos ambos os lados por -1:
4z = (x + 4)^2 + 4(y - 1)^2 + 8
Agora, dividimos ambos os lados por 4:
z = (x + 4)^24 + (y - 1)^2 + 2

Passo 6

A equação obtida é:
z = (x + 4)^24 + (y - 1)^2 + 2
Essa é a forma padrão de um paraboloide elíptico, onde a superfície abre na direção positiva do eixo z.

Resposta

A superfície representada pela equação x^2 + 4 y^2 + 8x - 8y - 4z + 28 = 0 é um paraboloide elíptico que abre na direção positiva do eixo z.

Exercícios relacionados