Identifique e descreva as superfícies abaixo:
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação:
O objetivo é identificar e descrever a superfície representada por essa equação. Para isso, precisamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadricas, e técnicas como completar o quadrado para simplificar a equação.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para agrupar os termos semelhantes:
Aqui, temos termos quadráticos em
e
, termos lineares em
,
e
, e um termo constante.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis
e
. Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão de uma superfície quadrica.
Para
:
Completa o quadrado adicionando e subtraindo
:
Para
:
Primeiro, fatoramos o 4:
Completa o quadrado dentro do parêntese adicionando e subtraindo
:
Passo 4
Substituímos as expressões completadas na equação original:
Agora, somamos os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 5
Isolamos o termo com
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, dividimos ambos os lados por 4:
Passo 6
A equação obtida é:
Essa é a forma padrão de um paraboloide elíptico, onde a superfície abre na direção positiva do eixo
.
Resposta
A superfície representada pela equação
é um paraboloide elíptico que abre na direção positiva do eixo
.