Mostre que se A e B são matrizes n times n com determinante diferente de zero, então A e B são equivalentes por linha.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A e B são matrizes ntimes n com det(A)neq0 e det(B)neq0, então existe uma sequência de operações elementares de linha que leva A em B. O conteúdo aqui é a noção de equivalência por linha e o fato de que matrizes invertíveis são geradas por produto de matrizes elementares.

Passo 2

Lembramos que dizemos que duas matrizes X e Y são equivalentes por linha (notação Xsim Y) quando existe uma matriz invertível E (produto de matrizes elementares) tal que
Y = E,X
Essa relação é reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 3

Como det(A)neq0, a eliminação de Gauss aplica-se a A e produz matrizes elementares E1,dots,Ek tais que
Ekcdots E1,A = In
Chamando E = Ekcdots E1, obtemos
In = E,A,
ou seja, Asim In.

Passo 4

De modo completamente análogo, existem matrizes elementares F1,dots,Fell com
Fellcdots F1,B = In
Definindo F = Fellcdots F1, temos
In = F,B Longrightarrow B = F^-1In

Passo 5

Como In = E,A, substituímos na expressão de B:
B = F^-1In = F^-1(E,A) = l(F^-1Er),A
Mas F^-1 e E são invertíveis, de modo que F^-1E também é inversível (logo produto de elementares). Portanto existe uma matriz invertível M = F^-1E tal que
B = M,A,
ou seja, Asim B.

Resposta

Mostramos que existe matriz invertível M com B = M,A. Logo A e B são equivalentes por linha.

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