Mostre que se
e
são matrizes
com determinante diferente de zero, então
e
são equivalentes por linha.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são matrizes
com
e
, então existe uma sequência de operações elementares de linha que leva
em
. O conteúdo aqui é a noção de equivalência por linha e o fato de que matrizes invertíveis são geradas por produto de matrizes elementares.
Passo 2
Lembramos que dizemos que duas matrizes
e
são equivalentes por linha (notação
) quando existe uma matriz invertível
(produto de matrizes elementares) tal que
Essa relação é reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 3
Como
, a eliminação de Gauss aplica-se a
e produz matrizes elementares
tais que
Chamando
, obtemos
ou seja,
.
Passo 4
De modo completamente análogo, existem matrizes elementares
com
Definindo
, temos
Passo 5
Como
, substituímos na expressão de
:
Mas
e
são invertíveis, de modo que
também é inversível (logo produto de elementares). Portanto existe uma matriz invertível
tal que
ou seja,
.
Resposta
Mostramos que existe matriz invertível
com
. Logo
e
são equivalentes por linha.