Responda verdadeiro ou falso, justificando as respostas:
Sejam A e B matrizes tais que A=A^t e B=B^t. Se C=A B, então C neq C^t.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes simétricas, isto é,
A = A^t, B = B^t,
e define C = A B. Pergunta-se se sempre vale C neq C^t. O conteúdo envolvido é a propriedade da transposição de produto de matrizes e o conceito de matrizes simétricas.

Passo 2

Empregamos a propriedade geral da transposição de produto:
(AB)^t = B^t , A^t

Passo 3

Como A e B são simétricas ( A=A^t e B=B^t), segue
C^t = (AB)^t = B^tA^t = BA

Passo 4

Portanto,
C = AB Longrightarrow C = C^t Long<=ftrightarrow AB = BA
Ou seja, C é simétrica sempre que A e B comutam. Logo, não é verdade que Cneq C^t em todo caso, pois se A e B comutarem teremos C=C^t.

Passo 5

Um contraexemplo muito simples é tomar
A = I, B = I,
onde I é a matriz identidade. Então
C = AB = I cdot I = I,
e claramente C^t = I^t = I = C.

Resposta

Falso.

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