Responda verdadeiro ou falso, justificando as respostas:
Sejam
e
matrizes tais que
e
. Se
, então
.
Sejam
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes simétricas, isto é,
e define
. Pergunta-se se sempre vale
. O conteúdo envolvido é a propriedade da transposição de produto de matrizes e o conceito de matrizes simétricas.
Passo 2
Empregamos a propriedade geral da transposição de produto:
Passo 3
Como
e
são simétricas (
e
), segue
Passo 4
Portanto,
Ou seja,
é simétrica sempre que
e
comutam. Logo, não é verdade que
em todo caso, pois se
e
comutarem teremos
.
Passo 5
Um contraexemplo muito simples é tomar
onde
é a matriz identidade. Então
e claramente
.
Resposta
Falso.