Identifique a distribuição da variável aleatória X quando sua função geradora de momentos (fgm) é dada por
M_{X}(t)=\frac{1}{t}\left(1-e^{-t}\right)
Forneça o nome da distribuição e os parâmetros.

Passo 1

O enunciado dá a função geradora de momentos
M_{X}(t)=\frac{1-e^{-t}}{t}
e pede para identificar a distribuição de X. Vamos usar o fato de que, para uma variável contínua uniformemente distribuída em [a,b], a fgm é dada por
M_{U}(t)=\frac{e^{b t}-e^{a t}}{(b-a)\,t}\,.

Passo 2

Anotamos a forma geral da fgm de U\sim \mathrm{Uniform}(a,b):
M_{U}(t)=\frac{e^{b t}-e^{a t}}{(b-a)\,t}\,.

Passo 3

Comparando com
M_{X}(t)=\frac{1-e^{-t}}{t} =\frac{e^{0\cdot t}-e^{-1\cdot t}}{(0-(-1))\,t}
vemos que b=0, a=-1 e b-a=1. Portanto X é uniforme em [-1,0].

Resposta

X\sim \mathrm{Uniform}\bigl(a=-1,\;b=0\bigr).

Exercícios relacionados