Identifique a distribuição da variável aleatória X quando sua função geradora de momentos (fgm) é dada por
M_{X}(t)=e^{2,5 e^{t}-2,5}
Forneça o nome da distribuição e os parâmetros.

Passo 1

O enunciado dá a função geradora de momentos
M_X(t)=\exp\bigl(2,5\,e^{t}-2,5\bigr)
e pede que a gente identifique a distribuição de X e seus parâmetros. Para isso, vamos usar o fato de que várias distribuições têm MGFs conhecidas, e compará-las com a dada.

Passo 2

Lembrando que se X\sim Poisson \lambda, então sua fgm é
M_X(t)=\exp\bigl(\lambda\,(e^t-1)\bigr).

Passo 3

Comparemos as duas expressões:
\exp\bigl(2,5\,e^{t}-2,5\bigr) =\exp\bigl(2,5\,(e^t-1)\bigr).
Logo, o coeficiente \lambda que multiplica (e^t-1) é \lambda=2,5.

Resposta

X\sim Poisson com parâmetro \lambda=2,5.

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