( 2,5 pontos) Calcule a média da variável aleatória X cuja fgm é M_{X}(t)=\frac{e^{t}}{3-2 e^{t}}.

Passo 1

O enunciado nos dá a fgm (mgf) da variável aleatória X
M_{X}(t)=\frac{e^{t}}{3-2e^{t}}
e pede a média \mathbb{E}[X]. Vamos usar a propriedade de que a derivada da mgf em t=0 fornece a média.

Passo 2

Pela definição de mgf, vale
\mathbb{E}[X]=M_{X}'(0).

Passo 3

Calculamos M_{X}'(t) usando a regra do quociente. Seja
u(t)=e^t,\quad v(t)=3-2e^t.
Então
u'(t)=e^t,\quad v'(t)=-2e^t,
e
M_{X}'(t) =\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^2} =\frac{e^t(3-2e^t)-e^t(-2e^t)}{(3-2e^t)^2} =\frac{3\,e^t}{(3-2e^t)^2}.

Passo 4

Agora avaliamos em t=0. Como e^0=1, o denominador fica (3-2\cdot1)^2=1. Logo
\mathbb{E}[X]=M_{X}'(0)=\frac{3\cdot1}{1}=3.

Resposta

\displaystyle 3

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