(2,5 pontos) Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} variáveis aleatórias independentes com distribuição N\left(\mu, \sigma^{2}\right). Então a fgm de \frac{1}{n}\left(X_{1}+\cdots+X_{n}\right) é
(a) e^{\frac{\mu}{n} t+\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}}
(b) e^{\mu t+\frac{1}{2} n \sigma^{2} t^{2}}
(c) e^{\mu t+\frac{1}{2 n} \sigma^{2} t^{2}}
(d) e^{n \mu t+\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a fgm (função geradora de momentos) de
Y = \frac{1}{n}\bigl(X_{1} + \cdots + X_{n}\bigr),
onde X_{1},\dots,X_{n} são independentes e identicamente distribuídas como N(\mu,\sigma^{2}). Para resolver, vamos usar as propriedades de fgms de variáveis independentes e o efeito de escalonamento na variável aleatória.

Passo 2

Para cada X_{i}\sim N(\mu,\sigma^{2}), sabemos que sua fgm é
M_{X_{i}}(t) = \mathbb{E}\bigl(e^{tX_{i}}\bigr) = \exp\!\Bigl(\mu\,t + \tfrac{1}{2}\,\sigma^{2}t^{2}\Bigr).

Passo 3

Como X_{1},\dots,X_{n} são independentes, a fgm da soma
S = X_{1} + \cdots + X_{n}
é o produto das fgms individuais:
M_{S}(t) = \bigl[M_{X_{i}}(t)\bigr]^{n} = \exp\!\Bigl(n\mu\,t + \tfrac{1}{2}n\sigma^{2}t^{2}\Bigr).

Passo 4

Para Y = \tfrac{1}{n}S, a propriedade de escala dá
M_{Y}(t) = M_{S}\!\Bigl(\tfrac{t}{n}\Bigr) = \exp\!\Bigl(n\mu\,\tfrac{t}{n} + \tfrac{1}{2}n\sigma^{2}\bigl(\tfrac{t}{n}\bigr)^{2}\Bigr) = \exp\!\Bigl(\mu\,t + \tfrac{1}{2}\,\tfrac{\sigma^{2}}{n}\,t^{2}\Bigr).

Resposta

A fgm de \frac{1}{n}(X_{1}+\cdots+X_{n}) é
\boxed{e^{\mu\,t + \tfrac{1}{2n}\,\sigma^{2}\,t^{2}}}
que corresponde à alternativa (c).

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