Verifique se a função
é par, ímpar, periódica, crescente, decrescente, injetiva e se possui função inversa.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
e determinar se ela é par, ímpar, periódica, crescente, decrescente, injetiva e se admite função inversa. Neste exercício, vamos usar conceitos de paridade, periodicidade, monotonicidade e injetividade de funções.
Passo 2
Para verificar paridade, calculamos
:
Como
para todo
, concluímos que
é par. Não pode ser ímpar, pois isso exigiria
, o que não ocorre.
Passo 3
A função
é periódica de período
, mas
repete-se já a cada
. Logo
e portanto
O menor período positivo de
é
.
Passo 4
Monotonicidade: em cada intervalo
a forma de
faz
subir de zero até 1 e depois descer de 1 até zero. Por exemplo, em
temos
e
é crescente, mas em
ela é decrescente. Como a função alterna subida e descida em cada período,
não é nem globalmente crescente nem globalmente decrescente.
Passo 5
Injetividade e inversa: sendo periódica de período
e não monotônica em cada período inteiro,
assume o mesmo valor em infinitos pontos distintos. Logo
não é injetiva em
e, portanto, não admite função inversa global. Podemos restringi-la a um intervalo onde seja estritamente crescente, como
, e aí obter uma inversa, mas não no domínio todo.