Verifique se a função
f(x)=\sqrt{|\sin x|}
é par, ímpar, periódica, crescente, decrescente, injetiva e se possui função inversa.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função
f(x)=\sqrt{\lvert \sin x\rvert}
e determinar se ela é par, ímpar, periódica, crescente, decrescente, injetiva e se admite função inversa. Neste exercício, vamos usar conceitos de paridade, periodicidade, monotonicidade e injetividade de funções.

Passo 2

Para verificar paridade, calculamos f(-x):
f(-x)=\sqrt{\lvert \sin(-x)\rvert}=\sqrt{\lvert -\sin x\rvert}=\sqrt{\lvert \sin x\rvert}=f(x).
Como f(-x)=f(x) para todo x, concluímos que f é par. Não pode ser ímpar, pois isso exigiria f(-x)=-f(x), o que não ocorre.

Passo 3

A função \sin x é periódica de período 2\pi, mas \lvert \sin x\rvert repete-se já a cada \pi. Logo
\lvert \sin(x+\pi)\rvert=\lvert -\sin x\rvert=\lvert \sin x\rvert
e portanto
f(x+\pi)=\sqrt{\lvert \sin(x+\pi)\rvert}=\sqrt{\lvert \sin x\rvert}=f(x).
O menor período positivo de f é \pi.

Passo 4

Monotonicidade: em cada intervalo [k\pi,\,k\pi+\pi] a forma de \lvert \sin x\rvert faz f subir de zero até 1 e depois descer de 1 até zero. Por exemplo, em [0,\pi/2] temos \sin x\ge0 e
f(x)=\sqrt{\sin x}
é crescente, mas em [\pi/2,\pi] ela é decrescente. Como a função alterna subida e descida em cada período, f não é nem globalmente crescente nem globalmente decrescente.

Passo 5

Injetividade e inversa: sendo periódica de período \pi e não monotônica em cada período inteiro, f assume o mesmo valor em infinitos pontos distintos. Logo f não é injetiva em \mathbb{R} e, portanto, não admite função inversa global. Podemos restringi-la a um intervalo onde seja estritamente crescente, como [0,\pi/2], e aí obter uma inversa, mas não no domínio todo.

Resposta

f é par. f não é ímpar. f é periódica, com menor período \pi. f não é globalmente crescente nem globalmente decrescente. f não é injetiva em \mathbb{R} e, portanto, não possui inversa global.

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