Identifique mais duas equações de estados, além da equação de van der Waals, utilizadas para descrever o comportamento dos gases. Apresente as suas principais características.

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique mais duas equações de estado além da equação de van der Waals e apresente as principais características de cada uma.
Informações/demandas explícitas:
  • Identificar duas equações de estado (nomes).
  • Apresentar as principais características de cada equação (fórmula, parâmetros, quando são melhores ou piores que van der Waals, uso prático).
    Não há outras informações numéricas no enunciado.

Passo 2

Antes de entrar nas equações específicas, vamos esclarecer o que é uma equação de estado e quais são as quantidades que normalmente aparecem. Isso é importante para entender as fórmulas depois.
  • Uma equação de estado relaciona pressão, volume e temperatura de uma substância (frequentemente na forma molar). As variáveis mais comuns são: \;P (pressão), \;T (temperatura), \;v (volume molar) ou \;Z (fator de compressibilidade).
  • O fator de compressibilidade é definido por \;Z=\dfrac{P v}{R T}, onde \;R é a constante dos gases. Ideia: \;Z=1 indica comportamento ideal; \;Z\neq1 indica não-idealidade.
  • Muitas equações de estado reais têm parâmetros \;a e \;b que introduzem efeitos de atração intermolecular ( \;a) e volume ocupado pelas moléculas ( \;b). Esses parâmetros são, em geral, obtidos a partir das propriedades críticas: temperatura crítica \;T_c e pressão crítica \;P_c, e às vezes do fator acêntrico \;\omega.

Passo 3

Primeira equação escolhida: Redlich–Kwong (RK). Vou apresentar a forma, explicar cada termo e dizer as características práticas.
Fórmula (forma usual em volume molar \;v):
P=\frac{R T}{v-b}-\frac{a}{\sqrt{T}\;v (v+b)}.
Explicação dos símbolos:
  • \;P : pressão.
  • \;T : temperatura absoluta.
  • \;v : volume molar ( \;v=V/n).
  • \;R : constante dos gases.
  • \;a e \;b : parâmetros específicos da substância, determinados a partir de \;T_c e \;P_c.
    Parâmetros em função das propriedades críticas (forma clássica):
a = 0,42748\,\dfrac{R^{2}T_c^{2{,}5}}{P_c},\qquad b=0,08664\,\dfrac{R T_c}{P_c}.
Principais características didáticas e práticas:
  • É uma equação cúbica em v (ou em Z quando reescrita) — portanto gera até três raízes que podem corresponder a fase vapor, líquido e uma raiz não física.
  • Melhor que van der Waals para muitas gases na fase vapor e para temperaturas moderadamente acima da crítica; introduz dependência em \sqrt{T} que melhora predições com temperatura.
  • Limitações: perde precisão próximo e abaixo da temperatura crítica para líquidos densos; desempenho inferior para hidrocarbonetos comparada a equações posteriores.
  • Uso prático: era muito usada para cálculo de propriedades de gás simples e como base para melhorias (ex.: Soave modificou RK).

Passo 4

Segunda equação escolhida: Peng–Robinson (PR). Novamente, vou mostrar a fórmula, parâmetros e o porquê de sua utilidade prática.
Fórmula (forma usual em volume molar \;v):
P=\frac{R T}{v-b}-\frac{a\,\alpha(T)}{v^{2}+2bv-b^{2}}.
Explicação dos termos:
  • \;a e \;b são parâmetros calculados a partir de \;T_c e \;P_c.
  • \;\alpha(T) é uma função adimensional que introduz dependência com a temperatura reduzida e incorpora o efeito do fator acêntrico \;\omega.
    Parâmetros e funções usuais:
a=0,45724\,\dfrac{R^{2}T_c^{2}}{P_c},\qquad b=0,07780\,\dfrac{R T_c}{P_c},
\alpha(T)=\left[1+\kappa\left(1-\sqrt{T_r}\right)\right]^{2},\qquad T_r=\dfrac{T}{T_c},
\kappa = 0,37464 + 1,54226\,\omega - 0,26992\,\omega^{2},
onde \;\omega é o fator acêntrico da substância (medida de “não esfericidade” ou complexidade da molécula).
Principais características:
  • Também é uma equação cúbica — fácil de obter \;Z resolvendo um polinômio cúbico (métodos numéricos ou analíticos).
  • Projetada para melhorar a predição de equilíbrio vapor–líquido, especialmente para hidrocarbonetos e aplicações de engenharia de petróleo/química.
  • A inclusão explícita de \;\omega (via \;\kappa) dá melhor ajuste para substâncias não-pontas (entre as mais importantes para aplicações industriais).
  • Em geral, fornece melhores previsões do ponto de saturação, volumes líquidos e pressões de vapor que RK e vdW em muitos casos práticos.
  • Limitações: ainda é uma aproximação; pode falhar para líquidos muito polares ou associativos (água, álcoois) sem correções adicionais.

Passo 5

Como se usa na prática (procedimento passo-a-passo para obter o fator de compressibilidade \;Z e propriedades):
  1. Escolhe-se a equação (por exemplo PR).
  2. Calcula-se \;a, \;b e \;\alpha(T) a partir de \;T_c, \;P_c e \;\omega (quando aplicável).
  3. Substitui-se \;v=\dfrac{Z R T}{P} na equação de estado para transformar a equação em um polinômio cúbico em \;Z. Exemplo genérico: para muitas equações cúbicas obtemos algo como
Z^{3}+c_{2}Z^{2}+c_{1}Z+c_{0}=0,
onde \;c_2,c_1,c_0 dependem de \;P,T,a,b,R.
4) Resolve-se o cúbico (por métodos numéricos ou fórmulas fechadas). As raízes reais correspondem a estados possíveis: geralmente uma raiz grande (vapor), uma pequena (líquido) e, às vezes, uma raiz intermediária não física.
5) A partir de \;Z podem-se obter \;v=\dfrac{Z R T}{P} e outras propriedades térmodinâmicas (energia livre, entalpia, fugacidade) usando fórmulas derivadas da equação de estado.
Importância dessa receita: na prova, normalmente você não precisa derivar tudo do zero — aprenda a calcular a,b,\alpha e a substituir v=ZRT/P para formar o cúbico em Z.

Passo 6

Comparação prática entre as três (vdW, RK, PR) — quando usar cada uma (dica de prova e engenharia):
  • van der Waals: boa para entender conceito físico (termos de a e b), mas quantitativamente ruim para engenharia.
  • Redlich–Kwong: melhora para gases reais em T moderadamente superiores a T_c; bom para gases simples; fácil e rápida.
  • Peng–Robinson: geralmente a escolha na engenharia de processos para hidrocarbonetos e equilíbrio fase devido à melhor predição de propriedades de saturação e ao uso do fator acêntrico.
    Dica: se a prova pede comparar precisão ou justificar escolha de equação, mencione esse critério (uso industrial vs. estudo conceitual).

Passo 7

Outros pontos importantes (curtos e diretos, úteis na prova):
  • Todas as três são equações cúbicas com parâmetros ajustáveis; por isso é comum obter um polinômio cúbico para Z.
  • Para misturas usa-se “mixing rules” (regras de mistura) para calcular a_{mix} e b_{mix} a partir dos a_i e b_i das substâncias puras (ex.: regras de van der Waals e combinações mais sofisticadas).
  • Substâncias fortemente polares ou que formam ligações de hidrogênio costumam requerer correções adicionais (modelos de associação, termos de polaridade) porque RK/PR são orientadas para moléculas não muito polares.

Passo 8

Resumo final curto para você decorar e usar rápido na prova:
  • Decore a forma geral e os parâmetros a,b de RK e PR.
  • Saiba calcular a e b a partir de \;T_c e \;P_c e que PR ainda usa \;\omega via \;\alpha(T).
  • Pratique transformar a equação em um cúbico em \;Z (substituir \;v=ZRT/P) e interpretar raízes. Você vai se sair bem!

Resposta

Redlich–Kwong (RK): \;P=\dfrac{R T}{v-b}-\dfrac{a}{\sqrt{T}\;v(v+b)} com \;a=0{,}42748\,\dfrac{R^{2}T_c^{2{,}5}}{P_c} e \;b=0{,}08664\,\dfrac{R T_c}{P_c}. Características: equação cúbica; melhor que van der Waals para gases a temperaturas moderadas; limitada perto/dentro da região crítica e para líquidos densos.
Peng–Robinson (PR): \;P=\dfrac{R T}{v-b}-\dfrac{a\,\alpha(T)}{v^{2}+2bv-b^{2}} com \;a=0{,}45724\,\dfrac{R^{2}T_c^{2}}{P_c}, \;b=0{,}07780\,\dfrac{R T_c}{P_c} e \;\alpha(T)=\bigl[1+\kappa(1-\sqrt{T/T_c})\bigr]^{2}, \;\kappa=0{,}37464+1{,}54226\,\omega-0{,}26992\,\omega^{2}. Características: equação cúbica com correção por fator acêntrico \omega; muito usada em engenharia para equilíbrio vapor–líquido e predição de propriedades de hidrocarbonetos; geralmente mais precisa que RK e vdW para aplicações industriais.

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