Identifique os elementos de simetria e determine o grupo de ponto das seguintes moléculas:
Água

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a molécula da água:
  • Identificar os elementos de simetria presentes.
  • Determinar o grupo de ponto da molécula.
Informações relevantes sobre a molécula que usarei (são propriedades conhecidas da água que o enunciado pressupõe):
  • A molécula é \mathrm{H_2O}, formada por um átomo de oxigênio e dois de hidrogênio.
  • A geometria é angular (curvada), com os três átomos no mesmo plano (a molécula é plana). O ângulo \mathrm{H\!-\!O\!-\!H} é aproximadamente 104{,}5^\circ, mas o valor exato não é necessário para identificar os elementos de simetria.
  • Posso rotular os hidrogênios como H_1 e H_2 e o oxigênio como O.

Passo 2

O que são “elementos de simetria” e como vamos identificá-los (aqui ensino a teoria básica e os conceitos que preciso usar, passo a passo, sem pular etapas):
Definição geral:
  • Um elemento de simetria é um traço geométrico (eixo, plano, ponto, etc.) em torno do qual existe uma operação que deixa a molécula indistinguível da configuração original.
  • Uma operação de simetria é a ação (rotacionar, refletir, inverter, etc.) associada a esse elemento.
Principais tipos de elementos que aparecem com frequência:
  • E: operação identidade — não faz nada; todo grupo tem E.
  • C_n: eixo de rotação de ordem n. Rotação de 360^\circ/n em torno do eixo que deixa a molécula equivalente. Ex.: C_2 = rotação de 180^\circ.
  • \sigma: plano de simetria (espelho). Refletir em relação a esse plano deixa a molécula equivalente. Quando o plano contém o eixo principal de rotação chama-se \sigma_v (vertical).
  • i: centro de inversão; transforma (x,y,z)\mapsto(-x,-y,-z).
  • S_n: eixo de rotação impróprio (rotação seguida de reflexão perpendicular), menos comum em moléculas simples.
Como detectamos elementos na prática (estratégia que vale para a prova):
  1. Determine se a molécula é linear ou não; se for linear, os grupos possíveis são outros (ex.: D_{\infty h}, C_{\infty v}). Água não é linear.
  2. Procure o eixo de maior ordem C_n (eixo principal). Esse eixo passa pelo átomo central em moléculas simples.
  3. Procure planos de reflexão que contenham esse eixo ( \sigma_v) e que possam trocar ou deixar fixos os átomos.
  4. Verifique presença de centro de inversão i e de eixos S_n.
  5. Com esses elementos, compare com as famílias de grupos de ponto conhecidos (como C_n, C_{nv}, C_{nh}, D_n, D_{nh}, D_{nd}, T_d, etc.).

Passo 3

Escolhendo um sistema de coordenadas e modelando a água de forma simples (isso ajuda a “ver” as operações de simetria sem desenhar):
  • Coloco o átomo de oxigênio O na origem (0,0,0).
  • Coloco os três átomos no plano xz (isto é, y=0 para todos).
  • Posso posicionar os hidrogênios simetricamente em relação ao eixo z: H_1=(+a,0,+b) e H_2=(-a,0,+b), com a>0, b>0. Essa escolha corresponde a ter o eixo de simetria passando pelo oxigênio e cortando o ângulo H\!-\!O\!-\!H ao meio (o eixo é o eixo z neste sistema).
  • Com essa disposição já consigo testar operações simples com contas elementares de coordenadas.

Passo 4

Identificação explícita dos elementos de simetria aplicando as operações ao modelo:
  1. Identidade E:
  • Sempre presente; não altera nada: E: \; O\mapsto O,\quad H_1\mapsto H_1,\quad H_2\mapsto H_2.
  1. Eixo de rotação C_2 (rotação de 180^\circ em torno do eixo z):
  • Geometricamente: (x,y,z)\mapsto(-x,-y,z).
  • Aplicando aos nossos pontos: C_2: \; H_1=(+a,0,+b)\mapsto(-a,0,+b)=H_2,\quad H_2\mapsto H_1,\quad O\mapsto O.
  • Conclusão: existe um C_2 que passa pelo oxigênio e bisseta o ângulo H\!-\!O\!-\!H.
  1. Plano de simetria \sigma_v que é o plano molecular (plano xz, isto é, y=0):
  • Reflexão em relação a esse plano: (x,y,z)\mapsto(x,-y,z).
  • Como todos os átomos têm y=0, ficam fixos: \sigma_v(\text{mol}) :\; H_1\mapsto H_1,\; H_2\mapsto H_2,\; O\mapsto O.
  • Portanto o plano xz (plano que contém os três átomos) é um plano de simetria vertical.
  1. Segundo plano de simetria \sigma_v' perpendicular ao plano molecular e contendo o eixo C_2 (plano yz, isto é, x=0):
  • Reflexão: (x,y,z)\mapsto(-x,y,z).
  • Aplicando aos nossos pontos: \sigma_v':\; H_1=(+a,0,+b)\mapsto(-a,0,+b)=H_2,\quad H_2\mapsto H_1,\quad O\mapsto O.
  • Conclusão: há outro \sigma_v que troca os dois hidrogênios.
  1. Centro de inversão i e eixos S_n:
  • Teste para i: (x,y,z)\mapsto(-x,-y,-z). Isso levaria H_1=(+a,0,+b) a (-a,0,-b), que não corresponde a nenhum átomo real na água (o oxigênio está em (0,0,0) e os hidrogênios têm z=+b), logo não existe i.
  • Teste para S_n: para moléculas pequenas e sem i nem eixos de ordem maior que 2, normalmente não aparece S_n não-trivial. Especificamente, água não tem eixo impróprio S_n relevante além do que já consideramos.
Portanto, os elementos de simetria que encontramos são:
E,\quad C_2,\quad \sigma_v(\text{plano molecular}),\quad \sigma_v'(\text{plano perpendicular}).

Passo 5

Classificação no grupo de ponto:
  • O grupo que contém exatamente as operações \{E,\;C_2,\;\sigma_v,\;\sigma_v'\} (um eixo C_2 mais duas reflexões verticais que contêm esse eixo) é o grupo C_{2v}.
  • Características rápidas que confirmam a escolha:
    • Ordem do grupo: 4 elementos.
    • Eixo de maior ordem é C_2.
    • Existem dois planos verticais de simetria ( \sigma_v) que contêm o eixo C_2.
    • Não há centro de inversão nem eixos de ordem maior.

Passo 6

Resumo prático (dicas para a prova — como aplicar esse raciocínio rápido a outras moléculas):
  1. Coloque a molécula numa posição conveniente (átomo central na origem, plano molecular no plano xz se for plana).
  2. Procure o eixo de maior rotação C_n passando pelo átomo central.
  3. Veja quantos planos de reflexão existem que contêm esse eixo; se houver dois (geralmente um que é o plano molecular e outro que o bisseta ângulos), o grupo tende a ser C_{nv}.
  4. Verifique existência de i e S_n.
  5. Compare com famílias padrão (por exemplo: C_{2v} = E, C_2, \sigma_v, \sigma_v').
Força aí — com esse passo a passo você consegue identificar o grupo de ponto de muitas moléculas pequenas sem drama.

Resposta

Elementos de simetria: E,\;C_2,\;\sigma_v (plano molecular), \sigma_v' (plano perpendicular que troca H_1 e H_2).
Grupo de ponto: C_{2v}.

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