Identifique os elementos de simetria e determine o grupo de ponto das seguintes moléculas:
Água
Água
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a molécula da água:
- Identificar os elementos de simetria presentes.
- Determinar o grupo de ponto da molécula.
Informações relevantes sobre a molécula que usarei (são propriedades conhecidas da água que o enunciado pressupõe):
- A molécula é
, formada por um átomo de oxigênio e dois de hidrogênio. - A geometria é angular (curvada), com os três átomos no mesmo plano (a molécula é plana). O ângulo
é aproximadamente , mas o valor exato não é necessário para identificar os elementos de simetria. - Posso rotular os hidrogênios como
e e o oxigênio como .
Passo 2
O que são “elementos de simetria” e como vamos identificá-los (aqui ensino a teoria básica e os conceitos que preciso usar, passo a passo, sem pular etapas):
Definição geral:
- Um elemento de simetria é um traço geométrico (eixo, plano, ponto, etc.) em torno do qual existe uma operação que deixa a molécula indistinguível da configuração original.
- Uma operação de simetria é a ação (rotacionar, refletir, inverter, etc.) associada a esse elemento.
Principais tipos de elementos que aparecem com frequência:
-
: operação identidade — não faz nada; todo grupo tem . -
: eixo de rotação de ordem . Rotação de em torno do eixo que deixa a molécula equivalente. Ex.: = rotação de . -
: plano de simetria (espelho). Refletir em relação a esse plano deixa a molécula equivalente. Quando o plano contém o eixo principal de rotação chama-se (vertical). -
: centro de inversão; transforma . -
: eixo de rotação impróprio (rotação seguida de reflexão perpendicular), menos comum em moléculas simples.
Como detectamos elementos na prática (estratégia que vale para a prova):
- Determine se a molécula é linear ou não; se for linear, os grupos possíveis são outros (ex.:
, ). Água não é linear. - Procure o eixo de maior ordem
(eixo principal). Esse eixo passa pelo átomo central em moléculas simples. - Procure planos de reflexão que contenham esse eixo (
) e que possam trocar ou deixar fixos os átomos. - Verifique presença de centro de inversão
e de eixos . - Com esses elementos, compare com as famílias de grupos de ponto conhecidos (como
, , , , , , , etc.).
Passo 3
Escolhendo um sistema de coordenadas e modelando a água de forma simples (isso ajuda a “ver” as operações de simetria sem desenhar):
- Coloco o átomo de oxigênio
na origem . - Coloco os três átomos no plano
(isto é, para todos). - Posso posicionar os hidrogênios simetricamente em relação ao eixo
: e , com , . Essa escolha corresponde a ter o eixo de simetria passando pelo oxigênio e cortando o ângulo ao meio (o eixo é o eixo neste sistema). - Com essa disposição já consigo testar operações simples com contas elementares de coordenadas.
Passo 4
Identificação explícita dos elementos de simetria aplicando as operações ao modelo:
- Identidade
:
- Sempre presente; não altera nada:
- Eixo de rotação
(rotação de em torno do eixo ):
- Geometricamente:
. - Aplicando aos nossos pontos:
- Conclusão: existe um
que passa pelo oxigênio e bisseta o ângulo .
- Plano de simetria
que é o plano molecular (plano , isto é, ):
- Reflexão em relação a esse plano:
. - Como todos os átomos têm
, ficam fixos: - Portanto o plano
(plano que contém os três átomos) é um plano de simetria vertical.
- Segundo plano de simetria
perpendicular ao plano molecular e contendo o eixo (plano , isto é, ):
- Reflexão:
. - Aplicando aos nossos pontos:
- Conclusão: há outro
que troca os dois hidrogênios.
- Centro de inversão
e eixos :
- Teste para
: . Isso levaria a , que não corresponde a nenhum átomo real na água (o oxigênio está em e os hidrogênios têm ), logo não existe . - Teste para
: para moléculas pequenas e sem nem eixos de ordem maior que 2, normalmente não aparece não-trivial. Especificamente, água não tem eixo impróprio relevante além do que já consideramos.
Portanto, os elementos de simetria que encontramos são:
Passo 5
Classificação no grupo de ponto:
- O grupo que contém exatamente as operações
(um eixo mais duas reflexões verticais que contêm esse eixo) é o grupo . - Características rápidas que confirmam a escolha:
- Ordem do grupo:
elementos. - Eixo de maior ordem é
. - Existem dois planos verticais de simetria (
) que contêm o eixo . - Não há centro de inversão nem eixos de ordem maior.
- Ordem do grupo:
Passo 6
Resumo prático (dicas para a prova — como aplicar esse raciocínio rápido a outras moléculas):
- Coloque a molécula numa posição conveniente (átomo central na origem, plano molecular no plano
se for plana). - Procure o eixo de maior rotação
passando pelo átomo central. - Veja quantos planos de reflexão existem que contêm esse eixo; se houver dois (geralmente um que é o plano molecular e outro que o bisseta ângulos), o grupo tende a ser
. - Verifique existência de
e . - Compare com famílias padrão (por exemplo:
= ).
Força aí — com esse passo a passo você consegue identificar o grupo de ponto de muitas moléculas pequenas sem drama.
Resposta
Elementos de simetria:
(plano molecular),
(plano perpendicular que troca
e
).
Grupo de ponto: .
Grupo de ponto: