Identifique e esboce cada uma das seguintes quádricas de mathbbE^3 :
2 x^2+3 y^2-z^2=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície quádricas de E^3 dada por 2x^2 + 3y^2 - z^2 = 0. O conteúdo aqui é classificação de quádricas pelo sinal dos coeficientes quadráticos e reconhecimento de cones (equações homogêneas de grau 2).

Passo 2

Observamos que todos os termos são de segunda ordem e o lado direito da equação é zero, ou seja, temos uma equação homogênea Q(x,y,z)=0. Quando uma quádricas homogênea de grau 2 define uma superfície não degenerada, ela é um cone com vértice na origem.

Passo 3

Para classificar, olhamos os coeficientes da forma quadrática 2x^2 + 3y^2 - z^2. Há dois coeficientes positivos ( 2,3) e um coeficiente negativo ( -1). Logo, a equação caracteriza um cone duplo de secção elíptica cujo eixo é o eixo z.

Passo 4

Reescrevendo isolando z^2, temos
z^2 = 2x^2 + 3y^2,
o que mostra que para cada (x,y) fixo surge z=pmraiz2x^2+3y^2. Assim, a superfície é formada por duas napas simétricas em relação ao plano z=0, abrindo-se ao longo de pm z.

Passo 5

No esboço, as seções transversais em planos z=constante são elipses definidas por 2x^2+3y^2=z^2, enquanto as seções no plano y=0 dão retas formando um ângulo dependente de raiz2.

Resposta

É um cone duplo de secção elíptica de vértice na origem e eixo ao longo de Oz, dado por z=pmraiz2x^2+3y^2.

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