Identifique e esboce cada uma das seguintes quádricas de mathbbE^3 :
z-3 x^2-5 y^2=0

Passo 1

A questão pede para identificar e esboçar a superfície em
z − 3x² − 5y² = 0
Estamos em
mathbb{E}³, o tópico é classificação de quádricas e precisamos reescrever em forma padrão para reconhecer o tipo de superfície.

Passo 2

Primeiro, isolemos
z
em função de
x
e
y
:
z ,=,3x^2 + 5y^2
Agora temos a forma
z = A x² + B y²
com
A = 3 > 0
e
B = 5 > 0
. Isso indica dois termos quadráticos positivos e nenhum termo misto.

Passo 3

Quando uma quádrica tem a forma
z = A x² + B y²
com
A
e
B
0
, trata-se de um parabolóide elíptico. Ele abre no sentido em que o termo linear (aqui
z
) cresce à medida que
e
crescem.

Passo 4

Para entender o formato, olhemos às seções:
– seção horizontal (nível) em
z = k > 0
: 3x² + 5y² = k, que é uma elipse. Conforme
k
aumenta, a elipse fica maior.
– seção no plano
y=0
:
z = 3x²
, uma parábola em
(x,z)
.
– seção no plano
x=0
:
z = 5y²
, outra parábola em
(y,z)
.

Passo 5

Para esboçar mentalmente:
– Vértice em
(0,0,0)
.
– Curvas de nível são elipses centradas na origem, com eixo em
x
e
y
.
– À medida que
z
cresce, as elipses vão “abrindo” em torno do eixo
z
, formando o corpo de um parabolóide.

Passo 6

O esboço fica como um “bowl” elíptico virado para cima, mais “esticado” no eixo
y
(porque
5
3
) e com vértice na origem.

Resposta

É um parabolóide elíptico definido por
z = 3x² + 5y²
, com vértice em
(0,0,0)
, aberto no sentido positivo de
z
, e cujas seções de nível
z = k
são elipses 3x² + 5y² = k.

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