Identifique e esboce cada uma das seguintes quádricas de
:
Passo 1
A questão pede para identificar e esboçar a superfície em
z − 3x² − 5y² = 0
Estamos em
mathbb{E}³, o tópico é classificação de quádricas e precisamos reescrever em forma padrão para reconhecer o tipo de superfície.
Passo 2
Primeiro, isolemos
z
em função de
x
e
y
:
Agora temos a forma
z = A x² + B y²
com
A = 3 > 0
e
B = 5 > 0
. Isso indica dois termos quadráticos positivos e nenhum termo misto.
Passo 3
Quando uma quádrica tem a forma
z = A x² + B y²
com
A
e
B
0
, trata-se de um parabolóide elíptico. Ele abre no sentido em que o termo linear (aqui
z
) cresce à medida que
x²
e
y²
crescem.
Passo 4
Para entender o formato, olhemos às seções:
– seção horizontal (nível) em
z = k > 0
: 3x² + 5y² = k, que é uma elipse. Conforme
k
aumenta, a elipse fica maior.
– seção no plano
y=0
:
z = 3x²
, uma parábola em
(x,z)
.
– seção no plano
x=0
:
z = 5y²
, outra parábola em
(y,z)
.
Passo 5
Para esboçar mentalmente:
– Vértice em
(0,0,0)
.
– Curvas de nível são elipses centradas na origem, com eixo em
x
e
y
.
– À medida que
z
cresce, as elipses vão “abrindo” em torno do eixo
z
, formando o corpo de um parabolóide.
Passo 6
O esboço fica como um “bowl” elíptico virado para cima, mais “esticado” no eixo
y
(porque
5
3
) e com vértice na origem.
Resposta
É um parabolóide elíptico definido por
z = 3x² + 5y²
, com vértice em
(0,0,0)
, aberto no sentido positivo de
z
, e cujas seções de nível
z = k
são elipses 3x² + 5y² = k.