Identifique e esboce cada superfície quádrica a seguir.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quadŕica
e pede que a identifiquemos e esbocemos. O conteúdo aqui é reconhecer a forma padrão de uma superfície do segundo grau em três variáveis e, a partir disso, classificar e descrever seu esboço.
Passo 2
Vamos isolar
para comparar com formas conhecidas. Da equação
temos
e, portanto,
Essa é a forma canônica de uma parábola em
menos uma parábola em
, tipicamente chamada de parábola hiperbolóide de sela (hyperbolic paraboloid).
Passo 3
Para entender o formato, analisamos seções planas:
Quando ,
Quando
ou seja, parábolas abertas para cima no plano
.
Quando ,
Quando
ou seja, parábolas abertas para baixo no plano
.
A combinação dessas curvaturas opostas gera uma superfície em forma de sela, com pontos de curvatura positiva numa direção e negativa na direção perpendicular
.
A combinação dessas curvaturas opostas gera uma superfície em forma de sela, com pontos de curvatura positiva numa direção
Passo 4
Esboço:
- No plano
, vemos a parábola . - No plano
, vemos a parábola invertida . - Ligando essas seções, a superfície faz uma “sela” que sobe ao longo de
e desce ao longo de .
z
↑ __
| / \
| / \
|------+--------→ x
| \ /
| \__ /
|
y (para fora da página)
Resposta
A superfície é um hyperbolic paraboloid (paraboloide hiperbólico de sela), dado por
O esboço mostra parábolas abertas para cima na direção
e para baixo na direção
, formando uma sela.