Identifique e esboce cada superfície quádrica a seguir.
(c) 4 x^{2}-y^{2}-4 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quadŕica
4x^{2}-y^{2}-4z=0
e pede que a identifiquemos e esbocemos. O conteúdo aqui é reconhecer a forma padrão de uma superfície do segundo grau em três variáveis e, a partir disso, classificar e descrever seu esboço.

Passo 2

Vamos isolar z para comparar com formas conhecidas. Da equação
4x^{2}-y^{2}-4z=0
temos
4z=4x^{2}-y^{2}
e, portanto,
z = x^{2} - \tfrac{1}{4}\,y^{2}.
Essa é a forma canônica de uma parábola em x menos uma parábola em y, tipicamente chamada de parábola hiperbolóide de sela (hyperbolic paraboloid).

Passo 3

Para entender o formato, analisamos seções planas:
Quando y=0,
z = x^{2},
ou seja, parábolas abertas para cima no plano (x,z).
Quando x=0,
z = -\tfrac{1}{4}\,y^{2},
ou seja, parábolas abertas para baixo no plano (y,z).
A combinação dessas curvaturas opostas gera uma superfície em forma de sela, com pontos de curvatura positiva numa direção x e negativa na direção perpendicular y.

Passo 4

Esboço:
  • No plano y=0, vemos a parábola z=x^{2}.
  • No plano x=0, vemos a parábola invertida z=-\tfrac{1}{4}y^{2}.
  • Ligando essas seções, a superfície faz uma “sela” que sobe ao longo de x e desce ao longo de y.
 z
 ↑ __
 | / \
 | / \
 |------+--------→ x
 | \ /
 | \__ /
 |
 y (para fora da página)

Resposta

A superfície é um hyperbolic paraboloid (paraboloide hiperbólico de sela), dado por
z = x^{2} - \tfrac{1}{4}y^{2}.
O esboço mostra parábolas abertas para cima na direção x e para baixo na direção y, formando uma sela.

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