Identifique e esboce os cilindros e quádricas
x+y=0

Passo 1

O enunciado pede a superfície dada por
x + y = 0
no espaço R^3. Vamos identificar que tipo de superfície é (quadrica, cilindro, degenerate, etc.) e depois esboçá-la. Para isso precisamos lembrar que:
  1. Uma quadric surface é dada por uma equação geral de até segundo grau em x,y,z.
  2. Se a equação não envolve uma das variáveis (aqui z), o objeto será um cilindro com geratrizes paralelas ao eixo correspondente (aqui o eixo z).

Passo 2

Note que a equação
x + y = 0
não envolve a variável z. Logo, para qualquer zinR a relação entre x e y deve ser sempre a mesma. Isso significa que o ponto (x,y,z) pertence à superfície se, e somente se, (x,y) está na reta
x + y = 0
no plano z=0. Os geratrizes são segmentos paralelos ao eixo z. Portanto, a superfície é um cilindro reto de geratrizes paralelas a z.

Passo 3

Classificação quádric a partir da forma geral
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
No nosso caso todos os coeficientes de termos de segundo grau são zero e só restam G=1, H=1 e J=0. Isso é um caso degenerado de quádricas (não é elipsoide, nem paraboloide, etc.), mas sim um plano. Concluímos:
  • É um plano (quadric de grau 1).
  • Como não aparece z, é também um cilindro com direção de extrusão paralela a z.

Passo 4

Esboço da superfície:
  1. Primeiro, na base z=0, trace a reta x+y=0, isto é, reta passando por (1,-1,0), (0,0,0), (-1,1,0).
  2. Em seguida, para cada ponto dessa reta, desenhe uma linha paralela ao eixo z. O conjunto dessas linhas forma o plano inclinado.
Visualmente, fica um “folha” vertical inclinada a 45^circ em relação aos eixos x e y, estendida infinitamente para cima e para baixo ao longo de z.

Resposta

A superfície (x,y,z)mid x+y=0 é um plano quádric degenerado e, por não depender de z, constitui um cilindro com geratrizes paralelas ao eixo z.

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