Seja
Então mostre que
Para todo se, e somente se,
ou
.
Para todo se, e somente se,
Passo 1
O enunciado define
em
por
se
e
se
.
Precisamos provar que, para todo ,
se, e somente se,
ou
.
Vamos mostrar cada direção da equivalência usando casos.
Precisamos provar que, para todo
Vamos mostrar cada direção da equivalência usando casos.
Passo 2
(
) Suponha
. Pela definição há dois casos:
- Se
, então , logo . - Se
, então , logo , isto é, .
Portanto, desegue ou .
Passo 3
(
) Suponha
ou
, com
.
- Se
, então e pela definição . - Se
, então e pela definição .
Em ambos os casos obtemos.
Resposta
Portanto, para todo
, vale