Seja
Então mostre que
Para todo se, e somente se, ou .

Passo 1

O enunciado define |x| em Z por
;|x|=x se x>=0 e |x|=-x se x<0.
Precisamos provar que, para todo ninN-0,
|x|=n se, e somente se, x=n ou x=-n.
Vamos mostrar cada direção da equivalência usando casos.

Passo 2

( Rightarrow) Suponha |x|=n. Pela definição há dois casos:
  • Se x>=0, então |x|=x, logo x=n.
  • Se x<0, então |x|=-x, logo -x=n, isto é, x=-n.
    Portanto, de |x|=n segue x=n ou x=-n.

Passo 3

( Leftarrow) Suponha x=n ou x=-n, com n>0.
  • Se x=n, então x>=0 e pela definição |x|=x=n.
  • Se x=-n, então x<0 e pela definição |x|=-x=-(-n)=n.
    Em ambos os casos obtemos |x|=n.

Resposta

Portanto, para todo ninN-0, vale
|x|=n se, e somente se, x=n ou x=-n

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