O teorema de geometria enunciado a seguir sugere uma identidade vectorial relativa a três vectores A, B e C. Dizer qual é a identidade e provar que se verifica para vectores de V_{n^{*}}. Tal identidade proporciona uma demonstração do teorema por métodos vectoriais.
“A soma dos quadrados dos lados de um quadrilatero qualquer excede a soma dos quadrados das diagonais em quatro vezes o quadrado do comprimento do segmento de reta que une os pontos médios das diagonais”.

Passo 1

O enunciado é um teorema de geometria plana que afirma: “A soma dos quadrados dos quatro lados de um quadrilátero qualquer excede a soma dos quadrados das duas diagonais em quatro vezes o quadrado do segmento que une os pontos médios das diagonais”.
Para provar isso por métodos vetoriais, vamos trabalhar em um espaço vetorial real com produto interno, V_{n^*}, e traduzir vértices e comprimentos em vetores e normas. Precisaremos das propriedades
\|x - y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2\,x\cdot y, \quad \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\,x\cdot y.

Passo 2

Escolhemos um vértice como origem O e denotamos por
\mathbf A = \overrightarrow{OA},\quad \mathbf B = \overrightarrow{OB},\quad \mathbf C = \overrightarrow{OC}.
Então os quatro vértices do quadrilátero são O, A, B, C, e as duas diagonais são OB e AC.

Passo 3

Expressamos os comprimentos ao quadrado em termos de normas:
\begin{aligned} OA^2 &= \|\mathbf A\|^2, &AB^2 &= \|\mathbf B - \mathbf A\|^2,\\\ BC^2 &= \|\mathbf C - \mathbf B\|^2, &CO^2 &= \|\mathbf C\|^2,\\\ OB^2 &= \|\mathbf B\|^2, &AC^2 &= \|\mathbf C - \mathbf A\|^2. \end{aligned}
Os pontos médios de OB e AC são \tfrac{\mathbf B}{2} e \tfrac{\mathbf A+\mathbf C}{2}. O segmento que os une tem vetor
\overrightarrow{MN} = \frac{\mathbf A+\mathbf C}{2} - \frac{\mathbf B}{2} = \frac{\mathbf A + \mathbf C - \mathbf B}{2},
portanto
4\,MN^2 = \big\|\mathbf A + \mathbf C - \mathbf B\big\|^2.

Passo 4

A identidade vetorial que corresponde exatamente ao enunciado é
\|\mathbf A\|^2 \;+\;\|\mathbf B-\mathbf A\|^2\;+\;\|\mathbf C-\mathbf B\|^2\;+\;\|\mathbf C\|^2 \;=\; \|\mathbf B\|^2\;+\;\|\mathbf C-\mathbf A\|^2\;+\;\big\|\mathbf A+\mathbf C-\mathbf B\big\|^2.

Passo 5

Prova por expansão:
  1. Lado esquerdo (LHS):
\begin{aligned} \|\mathbf A\|^2 &+ \|\mathbf B-\mathbf A\|^2 + \|\mathbf C-\mathbf B\|^2 + \|\mathbf C\|^2\\\ &= \|\mathbf A\|^2 + \bigl(\|\mathbf B\|^2 + \|\mathbf A\|^2 -2\,\mathbf A\!\cdot\!\mathbf B\bigr) + \bigl(\|\mathbf C\|^2 + \|\mathbf B\|^2 -2\,\mathbf B\!\cdot\!\mathbf C\bigr) + \|\mathbf C\|^2\\\ &= 2\|\mathbf A\|^2 + 2\|\mathbf B\|^2 + 2\|\mathbf C\|^2 -2\,\mathbf A\!\cdot\!\mathbf B -2\,\mathbf B\!\cdot\!\mathbf C. \end{aligned}
  1. Lado direito (RHS):
\begin{aligned} \|\mathbf B\|^2 &+ \|\mathbf C-\mathbf A\|^2 + \|\mathbf A+\mathbf C-\mathbf B\|^2\\\ &= \|\mathbf B\|^2 + \bigl(\|\mathbf C\|^2 + \|\mathbf A\|^2 -2\,\mathbf A\!\cdot\!\mathbf C\bigr)\\\ &\quad + \bigl(\|\mathbf A+\mathbf C\|^2 + \|\mathbf B\|^2 -2\,\mathbf B\!\cdot\!(\mathbf A+\mathbf C)\bigr)\\\ &= \|\mathbf B\|^2 + \|\mathbf C\|^2 + \|\mathbf A\|^2 -2\,\mathbf A\!\cdot\!\mathbf C\\\ &\quad + \bigl(\|\mathbf A\|^2 + \|\mathbf C\|^2 + 2\,\mathbf A\!\cdot\!\mathbf C\bigr) + \|\mathbf B\|^2 -2\,\mathbf B\!\cdot\!\mathbf A -2\,\mathbf B\!\cdot\!\mathbf C\\\ &= 2\|\mathbf A\|^2 + 2\|\mathbf B\|^2 + 2\|\mathbf C\|^2 -2\,\mathbf A\!\cdot\!\mathbf B -2\,\mathbf B\!\cdot\!\mathbf C. \end{aligned}
Como LHS = RHS, a identidade está comprovada para vetores em V_{n^*}.

Resposta

A identidade vetorial é
\|\mathbf A\|^2 + \|\mathbf B-\mathbf A\|^2 + \|\mathbf C-\mathbf B\|^2 + \|\mathbf C\|^2 = \|\mathbf B\|^2 + \|\mathbf C-\mathbf A\|^2 + \big\|\mathbf A+\mathbf C-\mathbf B\big\|^2,
que equivale exatamente ao enunciado geométrico do quadrilátero.

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