Identifique e esboce a cônica
3 x^2+3 y^2+2 x y=4

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a cônica dada por 3x^2+3y^2+2xy=4. Isso envolve analisar a forma quadrática associada e, se necessário, rotacionar o sistema de eixos para obter a forma canônica.

Passo 2

A forma geral é Ax^2+Bxy+Cy^2=4 com A=3, B=2 e C=3. O discriminante da parte quadrática é
De<a = B^2 - 4AC = 2^2 - 4cdot3cdot3 = -32,
que é negativo. Como o lado direito é positivo, trata-se de uma elipse.

Passo 3

Escrevemos a matriz simétrica da forma quadrática como
M = 3 & 1 1 & 3
(onde o coeficiente de xy é B/2=1). Seus autovalores satisfazem
det(M - lambda I) = (3-lambda)^2 - 1 = 0,
levando a lambda1=4 e lambda2=2. Os autovetores correspondem às direções y=x (para lambda1) e y=-x (para lambda2), indicando uma rotação de varphi=pi/4.

Passo 4

Em coordenadas rotacionadas (u,v) ao longo de y=x e y=-x, a equação se diagonaliza para
4,u^2 + 2,v^2 = 4,
ou seja
u^2 + v^22 = 1
Dessa forma os semieixos valem a=1 sobre u e b=raiz2 sobre v.

Passo 5

Para esboçar, note que sobre o eixo x ( y=0) temos 3x^2=4 dando x=pm tfrac2raiz3approxpm1,15 e similar em y. Os pontos extremos ao longo da direção y=x são l(pmtfrac1raiz2,pmtfrac1raiz2r) e ao longo de y=-x são (pm1,mp1). Ligando esses pontos de forma suave obtém-se a elipse inclinada em 45^circ.

Resposta

A cônica é uma elipse inclinada 45^circ cuja forma canônica é
u^2 + v^22 = 1,
com semieixos de comprimentos 1 e raiz2.

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