Identifique e esboce a cônica
3 x^2-2 x y+y^2+2 x+y=2

Passo 1

O enunciado dá a cônica
3x^2-2xy+y^2+2x+y=2
e pede para identificá-la (elipse, hipérbole, parábola) e esboçá-la. Vamos precisar de classificação pela quantidade de termos mistos e dos invariantes A, B, C, depois achar o centro completando o quadrado ou resolvendo gradiente nulo, e finalmente eliminar o termo xy por rotação de eixos para obter a forma canônica.

Passo 2

Classificamos pela matriz da parte quadrática
Q=3 & -1-1 & 1,
pois o termo xy corresponde a B=-2 e A=3, C=1. Calculamos
De<a = B^2-4AC =(-2)^2-4cdot3cdot1=4-12=-8<0,
logo a curva é uma elipse (pois De<a<0 e A e C têm mesmo sinal).

Passo 3

Achamos o centro (h,k) resolvendo
partialpartial x(3x^2-2xy+y^2+2x+y)=0, partialpartial y(dots)=0
Isto dá o sistema
6x-2y+2=0, -2x+2y+1=0
Da primeira vem 3x-y=-1, da segunda -x+y=-tfrac12. Resolvendo:
x=-tfrac34, y=-tfrac54
Portanto o centro é l(h,k)=l(-tfrac34,-tfrac54r).

Passo 4

Para eliminar o termo xy fazemos rotação de eixos pelo ângulo theta tal que
tan(2theta)=BA-C=-23-1=-1 Longrightarrow 2theta=-45^circ Longrightarrow theta=-22,5^circ

Passo 5

Os autovalores da matriz Q são
lambda1,2=A+C2pmraizl(A-C2r)^2+l(B2r)^2 =2pmraiz2,
ambos positivos, confirmando elipse. Depois da tradução (x,y)=(X+h,Y+k) e rotação (X,Y)mapsto(u,v), a equação fica
lambda1,u^2 + lambda2,v^2 = F,
onde
F = 2 -l[3h^2-2hk+k^2+2h+kr] =2 -l(-tfrac118r) =278

Passo 6

Assim a forma canônica é
(2+raiz2),u^2 + (2-raiz2),v^2 = 278
Os semi-eixos são
a = raiz27/82-raiz2 = 3raiz34,raiz2+raiz2, b = raiz27/82+raiz2 = 3raiz34,raiz2-raiz2
Numericamente aapprox2,40, bapprox0,995. O centro está em l(-tfrac34,-tfrac54r) e a elipse está girada de -22,5^circ.
No esboço, plotamos o centro (-0,75,-1,25), traçamos os eixos principais inclinados de -22,5^circ e marcamos sobre eles comprimentos 2aapprox4,80 e 2bapprox1,99.

Resposta

A cônica é uma elipse com centro em l(-tfrac34,-tfrac54r), semi-eixos
a=3raiz34raiz2+raiz2approx2,40, b=3raiz34raiz2-raiz2approx0,995,
rotacionada de -22,5^circ. O esboço consiste numa elipse centrada em (-0,75,-1,25) cujos eixos principais têm comprimentos 2aapprox4,80 e 2bapprox1,99 inclinados de -22,5^circ.

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