Identifique e esboce a cônica
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede para identificá-la (elipse, hipérbole, parábola) e esboçá-la. Vamos precisar de classificação pela quantidade de termos mistos e dos invariantes
,
,
, depois achar o centro completando o quadrado ou resolvendo gradiente nulo, e finalmente eliminar o termo
por rotação de eixos para obter a forma canônica.
Passo 2
Classificamos pela matriz da parte quadrática
pois o termo
corresponde a
e
,
. Calculamos
logo a curva é uma elipse (pois
e
e
têm mesmo sinal).
Passo 3
Achamos o centro
resolvendo
Isto dá o sistema
Da primeira vem
, da segunda
. Resolvendo:
Portanto o centro é
.
Passo 4
Para eliminar o termo
fazemos rotação de eixos pelo ângulo
tal que
Passo 5
Os autovalores da matriz
são
ambos positivos, confirmando elipse. Depois da tradução
e rotação
, a equação fica
onde
Passo 6
Assim a forma canônica é
Os semi-eixos são
Numericamente
,
. O centro está em
e a elipse está girada de
.
No esboço, plotamos o centro
, traçamos os eixos principais inclinados de
e marcamos sobre eles comprimentos
e
.
Resposta
A cônica é uma elipse com centro em
, semi-eixos
rotacionada de
. O esboço consiste numa elipse centrada em
cujos eixos principais têm comprimentos
e
inclinados de
.