Identifique e esboce a cônica
x^2-3 x y+y^2+x-y=1

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
x^2-3xy+y^2+x-y=1
e pede para identificar o tipo de cônica (elipse, hipérbole ou parábola) e esboçá-la. Para isso vamos usar o discriminante das cônicas gerais e depois calcular o centro e as assíntotas.

Passo 2

Na forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 temos
A=1, B=-3, C=1
O discriminante é
De<a = B^2-4AC = (-3)^2-4cdot1cdot1 = 9-4 = 5
Como De<a>0, a cônica é uma hipérbole oblíqua (rotacionada).

Passo 3

O centro (x0,y0) é dado pelas equações
partialpartial x(x^2-3xy+y^2+x-y-1)=0, partialpartial y(x^2-3xy+y^2+x-y-1)=0
Isso leva ao sistema
2x -3y +1 =0, -3x +2y -1 =0
Resolvendo, obtemos
x0=-tfrac15, y0=tfrac15

Passo 4

As assíntotas vêm da parte homogênea
x^2-3xy+y^2=0
Dividindo por y^2 (supondo yneq0) e chamando t=x/y, temos
t^2-3t+1=0 Longrightarrow t = 3pmraiz52
Logo as retas assíntotas, que passam pelo centro l(-tfrac15,tfrac15r), são
y - tfrac15 = 3+raiz52,l(x + tfrac15r) e y - tfrac15 = 3-raiz52,l(x + tfrac15r)

Passo 5

Para esboçar a hipérbole:
— Marque o centro em l(-tfrac15,tfrac15r).
— Desenhe as duas retas assíntotas com os declives tfrac3pmraiz52.
— Em cada quadrante determinado por essas retas, trace uma curva que se aproxime das assíntotas, lembrando que a hipérbole tem duas ramas simétricas em relação ao centro.

Resposta

A cônica é uma hipérbole oblíqua de centro l(-tfrac15,tfrac15r), com assíntotas
y - tfrac15 = 3pmraiz52,l(x + tfrac15r)
O esboço consiste em desenhar o centro, as duas assíntotas e as duas ramas da hipérbole aproximando-se delas.

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