Identifique e esboce a cônica
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
e pede para identificar o tipo de cônica (elipse, hipérbole ou parábola) e esboçá-la. Para isso vamos usar o discriminante das cônicas gerais e depois calcular o centro e as assíntotas.
Passo 2
Na forma geral
temos
O discriminante é
Como
, a cônica é uma hipérbole oblíqua (rotacionada).
Passo 3
O centro
é dado pelas equações
Isso leva ao sistema
Resolvendo, obtemos
Passo 4
As assíntotas vêm da parte homogênea
Dividindo por
(supondo
) e chamando
, temos
Logo as retas assíntotas, que passam pelo centro
, são
Passo 5
Para esboçar a hipérbole:
— Marque o centro em .
— Desenhe as duas retas assíntotas com os declives .
— Em cada quadrante determinado por essas retas, trace uma curva que se aproxime das assíntotas, lembrando que a hipérbole tem duas ramas simétricas em relação ao centro.
— Marque o centro em
— Desenhe as duas retas assíntotas com os declives
— Em cada quadrante determinado por essas retas, trace uma curva que se aproxime das assíntotas, lembrando que a hipérbole tem duas ramas simétricas em relação ao centro.
Resposta
A cônica é uma hipérbole oblíqua de centro
, com assíntotas
O esboço consiste em desenhar o centro, as duas assíntotas e as duas ramas da hipérbole aproximando-se delas.