Identifique e esboce a quadrica
-x^2+2 y z+z-y=100

Passo 1

Temos a quádricasomala -x^2 +2yz +z -y =100. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas em R^3, e vamos precisar identificar a parte quadrática (matriz simétrica), completar quadrados para eliminar termos lineares em y,z, fazer translação de eixos e depois rotacionar o plano (y,z) para diagonalizar o termo de produto cruzado.

Passo 2

A parte quadrática é e o termo linear é . Não há termo linear em , logo o centro em é . Para lidar com , vamos tratar de forma matricial e completar o quadrado.
Definimos a translação em como
de modo que

Passo 3

Substituindo na equação, obtemos
-x^2 + 2y'z' -tfrac12 =100
ou seja
-x^2 +2y'z' = tfrac1992
Agora diagonalizamos o termo 2y'z' no plano (y',z'). Definimos
U = y'+z', V = y' - z',
que levam a
2y'z' = U^2 - V^22

Passo 4

A equação torna-se
U^2 - V^22 - x^2 = 1992
e, multiplicando por 2:
U^2 - V^2 - 2x^2 =199
Escrevendo na forma padrão:
U^2199 - V^2199 - x^2tfrac1992 =1

Passo 5

Há um quadrado com coeficiente positivo e dois com coeficiente negativo, e o lado direito é positivo. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas.
O centro da superfície na coordenada original é
(x,y,z) = l(0,,-tfrac12,,tfrac12r),
e o eixo principal corresponde à direção do vetor (0,1,1) (eixo U). O esboço mostra duas folhas simétricas abertas ao longo dessa direção, separadas por uma região vazia.

Resposta

Trata-se de um hiperbolóide de duas folhas, centrado em (0,-tfrac12,tfrac12), com eixo principal no sentido da direção (0,1,1). O esboço consiste em duas folhas simétricas separadas no plano ortogonal a esse vetor.

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