Identifique e esboce a quadrica
Passo 1
Temos a quádricasomala
. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas em
, e vamos precisar identificar a parte quadrática (matriz simétrica), completar quadrados para eliminar termos lineares em
, fazer translação de eixos e depois rotacionar o plano
para diagonalizar o termo de produto cruzado.
Passo 2
A parte quadrática é
e o termo linear é
. Não há termo linear em
, logo o centro em
é
. Para lidar com
, vamos tratar
de forma matricial e completar o quadrado.
Definimos a translação em como
Definimos a translação em
de modo que
Passo 3
Substituindo na equação, obtemos
ou seja
Agora diagonalizamos o termo
no plano
. Definimos
que levam a
Passo 4
A equação torna-se
e, multiplicando por 2:
Escrevendo na forma padrão:
Passo 5
Há um quadrado com coeficiente positivo e dois com coeficiente negativo, e o lado direito é positivo. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas.
O centro da superfície na coordenada original é
O centro da superfície na coordenada original é
e o eixo principal corresponde à direção do vetor
(eixo
). O esboço mostra duas folhas simétricas abertas ao longo dessa direção, separadas por uma região vazia.
Resposta
Trata-se de um hiperbolóide de duas folhas, centrado em
, com eixo principal no sentido da direção
. O esboço consiste em duas folhas simétricas separadas no plano ortogonal a esse vetor.