Identifique e esboce a cônica
Passo 1
O enunciado pede para identificar a curva dada por
e esboçá-la. Isso envolve dois conteúdos principais de geometria analítica em nível superior:
) classificação de cônicas pela forma geral
usando o discriminante
,
) eliminação do termo misto
por rotação de eixos, encontrando a equação em coordenadas principais e, daí, os semi-eixos para o esboço.
Passo 2
Classificamos a cônica calculando
Como
e
e
têm mesmo sinal, trata-se de uma elipse.
Passo 3
Para eliminar o termo
usamos a rotação de eixos de ângulo
tal que
Passo 4
Escrevendo a forma quadrática em matriz
os autovalores são
Em coordenadas rotacionadas
a elipse fica
Assim os semi-eixos são
Passo 5
Para esboçar:
– a elipse está centrada na origem;
– o eixo maior tem comprimento e faz ângulo
com o eixo
;
– o eixo menor tem comprimento e está perpendicular ao maior.
– a elipse está centrada na origem;
– o eixo maior tem comprimento
– o eixo menor tem comprimento
Basta desenhar no plano
a origem, marcar nessa direção inclinada os pontos
e na perpendicular os pontos
, e traçar a curva fechada.
Resposta
A curva é uma elipse centrada na origem, com eixos principais rotacionados de
em relação ao eixo
. Seus semi-eixos valem
e a equação em coordenadas
giradas é