Identifique e esboce a cônica
2 x^2+x y+y^2=3

Passo 1

O enunciado pede para identificar a curva dada por
2x^2 + x y + y^2 = 3
e esboçá-la. Isso envolve dois conteúdos principais de geometria analítica em nível superior:
1) classificação de cônicas pela forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 usando o discriminante De<a = B^2-4AC,
2) eliminação do termo misto xy por rotação de eixos, encontrando a equação em coordenadas principais e, daí, os semi-eixos para o esboço.

Passo 2

Classificamos a cônica calculando
De<a = B^2 - 4AC = 1^2 - 4cdot2cdot1 = 1 - 8 = -7 < 0
Como De<a<0 e A e C têm mesmo sinal, trata-se de uma elipse.

Passo 3

Para eliminar o termo xy usamos a rotação de eixos de ângulo theta tal que
tan(2theta) = BA-C = 12-1 = 1 Longrightarrow 2theta = 45^circ Longrightarrow theta = 22,5^circ

Passo 4

Escrevendo a forma quadrática em matriz
x & y 2 & tfrac12 tfrac12 & 1 x y = 3,
os autovalores são
lambda1,2 = (2+1) pm raiz(2-1)^2 + 1^22 = 3 pm raiz22
Em coordenadas rotacionadas (x',y') a elipse fica
lambda1 x'^2 + lambda2 y'^2 = 3 Longrightarrow x'^23/lambda1 + y'^23/lambda2 = 1
Assim os semi-eixos são
a = raiz3lambda2 = raiz63 - raiz2 approx 1,945, b = raiz3lambda1 = raiz63 + raiz2 approx 1,166

Passo 5

Para esboçar:
– a elipse está centrada na origem;
– o eixo maior tem comprimento 2aapprox3,89 e faz ângulo theta=22,5^circ com o eixo x;
– o eixo menor tem comprimento 2bapprox2,33 e está perpendicular ao maior.
Basta desenhar no plano xy a origem, marcar nessa direção inclinada os pontos pm a e na perpendicular os pontos pm b, e traçar a curva fechada.

Resposta

A curva é uma elipse centrada na origem, com eixos principais rotacionados de 22,5^circ em relação ao eixo x. Seus semi-eixos valem
a = raiz63-raiz2approx1,945, b = raiz63+raiz2approx1,166,
e a equação em coordenadas (x',y') giradas é
x'^23/((3+raiz2)/2) + y'^23/((3-raiz2)/2) =1

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