Prove que as alturas de um triângulo se encontram num mesmo ponto. Idem para as bissetrizes internas.
Passo 1
O que queremos mostrar é que, num mesmo triângulo
,
- as três alturas (perpendiculares traçadas de cada vértice ao lado oposto) concorrem num ponto (ortocentro);
- as três bissetrizes internas (dividem em dois ângulos iguais cada ângulo do triângulo) também concorrem num ponto (incentro).
Para isso, vamos usar o Teorema de Ceva, que dá uma condição necessária e suficiente de concorrência para três cevianas.
Passo 2
Teorema de Ceva. Num triângulo
, sejam
,
,
. As retas
,
,
são concorrentes se, e somente se,
Passo 3
Aplicando a Ceva às alturas. Denotemos por
o pé da altura de
em
,
o pé da altura de
em
,
o pé da altura de
em
.
Seja também ,
,
.
No triângulo , no ponto
temos
Seja também
No triângulo
logo
Analogamente,
Multiplicando essas três razões,
Pelo Teorema de Ceva, as retas
,
e
(as três alturas) são concorrentes no ortocentro.
Passo 4
Aplicando a Ceva às bissetrizes internas. Seja
a interseção da bissetriz interna de
com
,
a da bissetriz de
,
a da bissetriz de
.
Pela propriedade da bissetriz interna,
Pela propriedade da bissetriz interna,
Multiplicando,
Novamente, pelo Teorema de Ceva, as bissetrizes internas
,
e
concorrem num ponto, que é o incentro.
Resposta
As três alturas de um triângulo concorrem num ponto chamado ortocentro, e as três bissetrizes internas concorrem num ponto chamado incentro.