Prove que as alturas de um triângulo se encontram num mesmo ponto. Idem para as bissetrizes internas.

Passo 1

O que queremos mostrar é que, num mesmo triângulo ABC,
  1. as três alturas (perpendiculares traçadas de cada vértice ao lado oposto) concorrem num ponto (ortocentro);
  2. as três bissetrizes internas (dividem em dois ângulos iguais cada ângulo do triângulo) também concorrem num ponto (incentro).
    Para isso, vamos usar o Teorema de Ceva, que dá uma condição necessária e suficiente de concorrência para três cevianas.

Passo 2

Teorema de Ceva. Num triângulo ABC, sejam Din BC, Ein CA, Fin AB. As retas AD, BE, CF são concorrentes se, e somente se,
BDDC,cdot,CEEA,cdot,AFFB=1

Passo 3

Aplicando a Ceva às alturas. Denotemos por
D o pé da altura de A em BC,
E o pé da altura de B em CA,
F o pé da altura de C em AB.
Seja também BC=a, CA=b, AB=c.
No triângulo ABC, no ponto D temos
BD = ABcosang<= ABC = ccos B, DC = ACcosang<= ACB = bcos C,
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BDDC = ccos Bbcos C
Analogamente,
CEEA = acos Cccos A, AFFB = bcos Aacos B
Multiplicando essas três razões,
BDDC,CEEA,AFFB = ccos Bbcos C cdot acos Cccos A cdot bcos Aacos B =1
Pelo Teorema de Ceva, as retas AD, BE e CF (as três alturas) são concorrentes no ortocentro.

Passo 4

Aplicando a Ceva às bissetrizes internas. Seja
D'in BC a interseção da bissetriz interna de ang<= A com BC,
E'in CA a da bissetriz de ang<= B,
F'in AB a da bissetriz de ang<= C.
Pela propriedade da bissetriz interna,
BD'D'C = ABAC = cb, CE'E'A = BCBA = ac, AF'F'B = CACB = ba
Multiplicando,
BD'D'C,CE'E'A,AF'F'B = cbcdotaccdotba =1
Novamente, pelo Teorema de Ceva, as bissetrizes internas AD', BE' e CF' concorrem num ponto, que é o incentro.

Resposta

As três alturas de um triângulo concorrem num ponto chamado ortocentro, e as três bissetrizes internas concorrem num ponto chamado incentro.

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