Questão 2: Considere as bases e de . Encontre a matriz de mudança da base para a base .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas bases no espaço R^2:
Base B: (1,0), (0,1)
Base C: (1,1), (0,1)
O exercício quer que a gente encontre a matriz de mudança da base C para a base B. Em outras palavras, queremos descobrir como transformar as coordenadas de um vetor que está na base C para que elas fiquem de acordo com a base B.
Para isso, vamos precisar entender:
O que são bases e mudança de base.
Como representar os vetores de uma base na outra.
Como construir a matriz de mudança de base usando essas representações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são bases. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No nosso caso, tanto B quanto C são bases de R^2, o que significa que qualquer vetor em R^2 pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores de B ou de C.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a mudança de base. Quando a gente tem um vetor expresso em uma base e quer expressá-lo em outra base, usamos uma matriz de mudança de base. Essa matriz vai converter as coordenadas do vetor de uma base para a outra.
No nosso caso, queremos a matriz que converte coordenadas da base C para a base B.
Passo 4
Para encontrar a matriz de mudança de base de C para B, precisamos expressar cada vetor da base C na base B.
Os vetores da base C são:
v1 = (1,1)
v2 = (0,1)
Queremos encontrar as coordenadas desses vetores em relação à base B.
Passo 5
Como a base B é (1,0), (0,1), que é a base padrão, os vetores já estão expressos nessa base. Ou seja:
v1 = 1 cdot (1,0) + 1 cdot (0,1) = (1,1)
v2 = 0 cdot (1,0) + 1 cdot (0,1) = (0,1)
Passo 6
Com essas representações, a matriz de mudança de base de C para B é simplesmente formada pelas coordenadas dos vetores de C em B, dispostos em colunas. Então: