Identifique e esboce a curva dada pela equação.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a curva dada por
O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos completar quadrados para obter a forma canônica e daí identificar a cônica (hipérbole, elipse, parábola, etc.), achar centro, eixos, vértices e assíntotas para então esboçar.
Passo 2
Reescrevemos agrupando termos em
e em
e completamos quadrados:
Para
:
Para
:
Substituindo:
Passo 3
Isolando o termo constante e dividindo por
:
Tratando-se da forma
onde
,
,
,
. Portanto é uma hipérbole com eixo transverso horizontal.
Passo 4
Centro, vértices e assíntotas:
Centro .
Semi-eixo transverso , semi-eixo conjugado
.
Vértices em
Centro
Semi-eixo transverso
Vértices em
Assíntotas obtidas de
para
:
Passo 5
Esboço da hipérbole:
– Marque o centro em .
– Trace as retas assíntotas e
.
– Sobre a linha horizontal que passa em , marque os vértices em
e
.
– A hipérbole tem dois ramos abertos para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas à medida que se afastam do centro.
– Marque o centro em
– Trace as retas assíntotas
– Sobre a linha horizontal que passa em
– A hipérbole tem dois ramos abertos para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas à medida que se afastam do centro.
Resposta
A curva é uma hipérbole de equação canônica
com centro em
, vértices em
, eixo transverso horizontal de semi-eixo
, semi-eixo conjugado
, e assíntotas
O esboço mostra dois ramos simétricos em relação ao eixo
, abrindo-se para esquerda e para a direita, aproximando-se das assíntotas.