Identifique e esboce a curva dada pela equação.
x^2-3y^2+6x+6y+3=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a curva dada por
x^2-3y^2+6x+6y+3=0
O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos completar quadrados para obter a forma canônica e daí identificar a cônica (hipérbole, elipse, parábola, etc.), achar centro, eixos, vértices e assíntotas para então esboçar.

Passo 2

Reescrevemos agrupando termos em x e em y e completamos quadrados:
x^2+6x;-;3l(y^2-2yr);+;3=0
Para x:
x^2+6x = (x+3)^2 - 9
Para y:
y^2-2y = (y-1)^2 -1 Longrightarrow -3(y^2-2y) = -3(y-1)^2 +3
Substituindo:
(x+3)^2-9 ;-;3(y-1)^2+3 ;+;3 =0 ;Longrightarrow; (x+3)^2-3(y-1)^2-3=0

Passo 3

Isolando o termo constante e dividindo por 3:
(x+3)^2-3(y-1)^2=3 Longrightarrow (x+3)^23 ;-;(y-1)^2=1
Tratando-se da forma
(X)^2a^2 ;-;(Y)^2b^2=1,
onde X=x+3, Y=y-1, a^2=3, b^2=1. Portanto é uma hipérbole com eixo transverso horizontal.

Passo 4

Centro, vértices e assíntotas:
Centro C=(-3,,1).
Semi-eixo transverso a=raiz3, semi-eixo conjugado b=1.
Vértices em
(-3pmraiz3,,1)
Assíntotas obtidas de X^2a^2-Y^2b^2=1 para X,Ytoinfty:
Y=pmba,X Longrightarrow y-1 = pm1raiz3,(x+3)

Passo 5

Esboço da hipérbole:
– Marque o centro em (-3,1).
– Trace as retas assíntotas y-1 = tfrac1raiz3(x+3) e y-1 = -tfrac1raiz3(x+3).
– Sobre a linha horizontal que passa em y=1, marque os vértices em (-3+raiz3,1) e (-3-raiz3,1).
– A hipérbole tem dois ramos abertos para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas à medida que se afastam do centro.

Resposta

A curva é uma hipérbole de equação canônica
(x+3)^23 - (y-1)^2 = 1,
com centro em (-3,1), vértices em l(-3pmraiz3,1r), eixo transverso horizontal de semi-eixo a=raiz3, semi-eixo conjugado b=1, e assíntotas
y-1 = pm1raiz3(x+3)
O esboço mostra dois ramos simétricos em relação ao eixo y=1, abrindo-se para esquerda e para a direita, aproximando-se das assíntotas.

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