Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádrupla definida por
e pede para identificá-la (que tipo de quadric) e esboçar seu gráfico. Vamos usar o método de completar quadrados em
e depois colocar na forma canônica de uma superfície quádrupla.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em
. Reescrevemos os termos em
:
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
, fica
Passo 4
Na forma
reconhecemos um elipsoide com centro em
e semieixos de comprimentos
ao longo de
,
ao longo de
e
ao longo de
.
Passo 5
É útil anotar as interseções com os eixos coordenados para ajudar no esboço:
- Em
: , círculo de raio no plano centrado em . - Em
: , elipse no plano com eixos em e em . - Interceptos principais:
Passo 6
Para esboçar, desenhe um elipsoide centrado em
estendendo-se de
a
, de
a
e de
a
. No plano
aparece um círculo unitário deslocado para cima até
; conforme
aumenta, as seções transversais em planos
são elipses menores.
Resposta
A superfície é um elipsoide centrado em
com semieixos
,
e
, cuja forma canônica é