Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
4 x^{2}+4 y^{2}-8 y+z^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádrupla definida por
4x^{2}+4y^{2}-8y+z^{2}=0
e pede para identificá-la (que tipo de quadric) e esboçar seu gráfico. Vamos usar o método de completar quadrados em y e depois colocar na forma canônica de uma superfície quádrupla.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em y. Reescrevemos os termos em y:
4y^{2}-8y = 4\bigl(y^{2}-2y\bigr) = 4\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) = 4(y-1)^{2}-4.
Substituindo em 4x^{2}+4y^{2}-8y+z^{2}=0 obtemos
4x^{2} + \bigl[4(y-1)^{2}-4\bigr] + z^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+4(y-1)^{2}+z^{2}=4.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 4, fica
\frac{4x^{2}}{4} + \frac{4(y-1)^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + (y-1)^{2} + \frac{z^{2}}{4} = 1.

Passo 4

Na forma
\frac{x^{2}}{1^{2}} + \frac{(y-1)^{2}}{1^{2}} + \frac{z^{2}}{2^{2}} = 1
reconhecemos um elipsoide com centro em (0,1,0) e semieixos de comprimentos
\,a=1 ao longo de x, \,b=1 ao longo de y e \,c=2 ao longo de z.

Passo 5

É útil anotar as interseções com os eixos coordenados para ajudar no esboço:
  • Em z=0: x^{2}+(y-1)^{2}=1, círculo de raio 1 no plano z=0 centrado em (0,1).
  • Em y=1: x^{2}+\tfrac{z^{2}}{4}=1, elipse no plano y=1 com eixos 1 em x e 2 em z.
  • Interceptos principais:
    (x,y,z)=(\pm1,1,0),\;(0,0,0),\;(0,2,0),\;(0,1,\pm2).

Passo 6

Para esboçar, desenhe um elipsoide centrado em (0,1,0) estendendo-se de x=-1 a x=1, de y=0 a y=2 e de z=-2 a z=2. No plano z=0 aparece um círculo unitário deslocado para cima até y=1; conforme |z| aumenta, as seções transversais em planos z=\text{const} são elipses menores.

Resposta

A superfície é um elipsoide centrado em (0,1,0) com semieixos 1, 1 e 2, cuja forma canônica é
\frac{x^{2}}{1^{2}} + \frac{(y-1)^{2}}{1^{2}} + \frac{z^{2}}{2^{2}} = 1.

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