Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
x=y^{2}+z^{2}-2 y-4 z+5

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
x = y^{2} + z^{2} - 2y - 4z + 5.
Estamos diante de uma superfície quadrática em y,z, e para reconhecê-la (paraboloide, elipsoide etc.) precisamos completar quadrados em y e z.

Passo 2

Escrevemos os termos em y e em z agrupados e completamos quadrados:
y^{2} - 2y = (y - 1)^{2} - 1, \quad z^{2} - 4z = (z - 2)^{2} - 4.
Substituindo em x:
x = \bigl[(y - 1)^{2} - 1\bigr] + \bigl[(z - 2)^{2} - 4\bigr] + 5 = (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} + 0.

Passo 3

Portanto a superfície fica
x = (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2}.
Isto é um paraboloide elíptico que abre na direção positiva do eixo x. O vértice ocorre onde (y - 1)^{2}+(z - 2)^{2} é mínimo, ou seja em
(y,z) = (1,2),
e então
x_{\text{vértice}} = 0.é
Logo o vértice é o ponto (0,1,2).

Passo 4

As curvas de nível para x = c\ge0 são círculos no plano yz centrados em (1,2) com raio \sqrt{c}:
(y-1)^{2} + (z-2)^{2} = c.
Isso reforça que, conforme x cresce, as seções transversais são círculos de raio cada vez maior.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em (0,1,2) e que abre ao longo do eixo x positivo. No esboço, desenhe o ponto (0,1,2), eixo x saindo para a sua direita, e algumas curvas de nível circulares no plano yz (por exemplo para x=1,4,9) centradas em (1,2), mostrando o alargamento conforme x aumenta.

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