Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
Estamos diante de uma superfície quadrática em
, e para reconhecê-la (paraboloide, elipsoide etc.) precisamos completar quadrados em
e
.
Passo 2
Escrevemos os termos em
e em
agrupados e completamos quadrados:
Substituindo em
:
Passo 3
Portanto a superfície fica
Isto é um paraboloide elíptico que abre na direção positiva do eixo
. O vértice ocorre onde
é mínimo, ou seja em
e então
Logo o vértice é o ponto
.
Passo 4
As curvas de nível para
são círculos no plano
centrados em
com raio
:
Isso reforça que, conforme
cresce, as seções transversais são círculos de raio cada vez maior.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em
e que abre ao longo do eixo
positivo. No esboço, desenhe o ponto
, eixo
saindo para a sua direita, e algumas curvas de nível circulares no plano
(por exemplo para
) centradas em
, mostrando o alargamento conforme
aumenta.