Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
4 x-y+2 z=4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
4x - y + 2z = 4
que é uma equação linear em x,y,z. Isso define uma superfície plana (um plano) no espaço tridimensional. Para esboçar esse plano, vamos identificar seu vetor normal e seus interceptos com os eixos coordenados.

Passo 2

O vetor normal \mathbf{n} de um plano dado por
Ax + By + Cz = D
é \mathbf{n} = (A, B, C).
Aqui, A=4, B=-1 e C=2, logo
\mathbf{n} = (4,\,-1,\,2).

Passo 3

Para encontrar os interceptos com os eixos, anulamos duas variáveis de cada vez:
– Intercepto em x ( y=0,\,z=0):
4x = 4 \quad\implies\quad x = 1.
Ponto (1,0,0).
– Intercepto em y ( x=0,\,z=0):
-\,y = 4 \quad\implies\quad y = -4.
Ponto (0,-4,0).
– Intercepto em z ( x=0,\,y=0):
2z = 4 \quad\implies\quad z = 2.
Ponto (0,0,2).

Passo 4

Com os interceptos, podemos escrever o plano na forma segmentária:
\frac{x}{1} + \frac{y}{-4} + \frac{z}{2} = 1.

Passo 5

Podemos também obter uma forma paramétrica, usando dois parâmetros s,t. Por exemplo, escolhendo x=s e y=t, então
4s - t + 2z = 4 \quad\implies\quad 2z = 4 - 4s + t \quad\implies\quad z = 2 - 2s + \tfrac12\,t.
Logo, um parâmetro do plano é
(x,y,z) = \bigl(s,\;t,\;2 - 2s + \tfrac12 t\bigr).

Passo 6

Para esboçar o plano:
  1. Desenhe os eixos x, y e z em perspectiva.
  2. Marque os pontos (1,0,0), (0,-4,0) e (0,0,2).
  3. Una esses três pontos por segmentos de reta: obtém-se um “triângulo” que é parte do plano.
  4. Estenda o triângulo suavemente para visualizar todo o plano.

Resposta

O gráfico de
4x - y + 2z = 4
é um plano cujo vetor normal é \mathbf{n}=(4,-1,2). Ele intercepta os eixos em
(1,0,0), (0,-4,0) e (0,0,2), e pode ser escrito na forma segmentária
\frac{x}{1} + \frac{y}{-4} + \frac{z}{2} = 1.
O esboço se obtém ligando esses três pontos e estendendo o polígono resultante para formar o plano completo.

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