Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
y^{2}+z^{2}=1+x^{2}

Passo 1

O enunciado apresenta a superfície dada por
y^{2} + z^{2} = 1 + x^{2}.
O conteúdo é classificação de superfícies quádricas em \mathbb{R}^3: precisamos identificar o tipo de quádrica e depois esboçar seu formato.

Passo 2

Reescrevendo tudo de um lado, temos a forma canônica
y^{2} + z^{2} - x^{2} = 1.

Passo 3

Na forma padrão
\frac{u^{2}}{a^{2}} + \frac{v^{2}}{b^{2}} - \frac{w^{2}}{c^{2}} = 1
vemos dois sinais positivos e um negativo. Isso caracteriza um hiperbóloide de uma folha. A variável com coeficiente negativo é x, logo o eixo principal da superfície é o eixo x.

Passo 4

Para visualizar:
– Corte por x = x_{0}
y^{2} + z^{2} = 1 + x_{0}^{2},
um círculo de raio \sqrt{1 + x_{0}^{2}}.
– À medida que \lvert x_{0}\rvert cresce, o círculo alarga, mostrando a superfície como um “tubo” que se expande para as duas direções de x.
– Cortes por y = \text{const} ou z = \text{const} dão hipérboles, reforçando a forma de hiperbóloide.
No esboço 3D, basta desenhar o eixo x horizontal e em cada plano x=x_{0} desenhar um círculo de raio \sqrt{1+x_{0}^{2}}, mostrando o alargamento simétrico.

Resposta

A superfície é um hiperbóloide de uma folha de revolução em torno do eixo x, cujas secções planas por x=\text{const} são círculos de raio \sqrt{1+x^{2}}.

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