O enunciado pede para a gente identificar qual é a superfície dada pela equação e esboçá-la. O conteúdo aqui é estudar formas quadráticas e classificar a quádruica via diagonalização (autovalores e autovetores).
Passo 2
Escrevemos a forma quadrática em forma matricial. Se , então podemos pôr
onde
Passo 3
Para classificar a superfície, achamos os autovalores de A. Note que A=I+J, sendo J a matriz de todas as entradas iguais a 1. Sabemos que J tem um autovalor 3 (vetor (1,1,1)) e dois zeros (planos ortogonais a (1,1,1)). Logo os autovalores de A são
lambda1=1+3=4(mu<iplicidade 1),
lambda2=1+0=1(mu<iplicidade 2)
Passo 4
O próximo passo é mudar para as coordenadas principais (u1,u2,u3), onde u1 está na direção (1,1,1)/raiz3 e u2,u3 são quaisquer dois vetores ortonormais no plano x+y+z=0. Nessas coordenadas a equação vira
4u1^2+1,u2^2+1,u3^2=81
Passo 5
Dividindo tudo por 81, chega-se à forma padrão de elipsoide:
u1^281/4 + u2^281 + u3^281 =1
Passo 6
Como os três autovalores são positivos, é um elipsoide. Além disso, dois semieixos são iguais (raiz81=9) e o terceiro é raiz81/4=4,5, o que caracteriza um elipsoide de revolução (oblato) com eixo menor na direção (1,1,1).
No esboço, desenhe um elipsoide centrado na origem, orientado de modo que o eixo menor (comprimento 2times4,5=9) fique apontando na direção da reta x=y=z, e os eixos iguais (comprimento 2times9=18) no plano x+y+z=0.
Resposta
Trata-se de um elipsoide de revolução (oblato), com semieixos de comprimentos 4,5 na direção (1,1,1) e 9 nos dois eixos ortogonais a (1,1,1).