Identifique e esboce a quadrica
2 x^2+2 y^2+2 z^2+2 x y+2 x z+2 y z=81

Passo 1

O enunciado pede para a gente identificar qual é a superfície dada pela equação 2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2xz+2yz=81 e esboçá-la. O conteúdo aqui é estudar formas quadráticas e classificar a quádruica via diagonalização (autovalores e autovetores).

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática em forma matricial. Se X=(x,y,z)^T, então podemos pôr
2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2xz+2yz=X^T A X,
onde
A=2&1&11&2&11&1&2

Passo 3

Para classificar a superfície, achamos os autovalores de A. Note que A=I+J, sendo J a matriz de todas as entradas iguais a 1. Sabemos que J tem um autovalor 3 (vetor (1,1,1)) e dois zeros (planos ortogonais a (1,1,1)). Logo os autovalores de A são
lambda1=1+3=4(mu<iplicidade 1),
lambda2=1+0=1(mu<iplicidade 2)

Passo 4

O próximo passo é mudar para as coordenadas principais (u1,u2,u3), onde u1 está na direção (1,1,1)/raiz3 e u2,u3 são quaisquer dois vetores ortonormais no plano x+y+z=0. Nessas coordenadas a equação vira
4u1^2+1,u2^2+1,u3^2=81

Passo 5

Dividindo tudo por 81, chega-se à forma padrão de elipsoide:
u1^281/4 + u2^281 + u3^281 =1

Passo 6

Como os três autovalores são positivos, é um elipsoide. Além disso, dois semieixos são iguais ( raiz81=9) e o terceiro é raiz81/4=4,5, o que caracteriza um elipsoide de revolução (oblato) com eixo menor na direção (1,1,1).
No esboço, desenhe um elipsoide centrado na origem, orientado de modo que o eixo menor (comprimento 2times4,5=9) fique apontando na direção da reta x=y=z, e os eixos iguais (comprimento 2times9=18) no plano x+y+z=0.

Resposta

Trata-se de um elipsoide de revolução (oblato), com semieixos de comprimentos 4,5 na direção (1,1,1) e 9 nos dois eixos ortogonais a (1,1,1).

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