Identifique e esboce a quadrica
x^2+y^2+3 z^2+4 x y=3

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a quádricas dada por x^2+y^2+3z^2+4xy=3. O conteúdo é classificação de superfícies quadráticas via diagonalização de forma quadrática: precisamos montar a matriz simétrica associada, achar autovalores e autovetores e passar para a forma canônica.

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática em termos de matriz. No subespaço (x,y) a parte é
Q(x,y)=x^2+y^2+4xy=[x y]1&22&1 [x y]^T

Passo 3

Calculamos os autovalores de A=1&22&1:
det(A-lambda I)=(1-lambda)^2-4=lambda^2-2lambda-3=0
As raízes são lambda1=3 (positivo) e lambda2=-1 (negativo). No eixo z temos coeficiente 3>0. Assim a forma tem dois autovalores positivos e um negativo, indicando um hiperbolóide de uma folha.

Passo 4

Para diagonalizar, fazemos rotação no plano xy. Definimos
u=x+yraiz2, v=x-yraiz2
Em coordenadas (u,v,z) a forma vira
x^2+y^2+4xy=3u^2-v^2,
logo a equação completa fica
3u^2-v^2+3z^2=3
e dividindo por 3:
u^2+z^2-v^23=1

Passo 5

Essa é a forma canônica de um hiperbolóide de uma folha de revolução (dois sinais iguais positivos e um negativo). O eixo de simetria é a reta u=0,v-variável, isto é, na direção do vetor próprio correspondente a lambda=-1, que é (1,-1,0)/raiz2.

Passo 6

O esboço é o de um hiperbolóide de uma folha circular ao redor do eixo v. É uma superfície aberta com interseções elípticas para v=const.

Resposta

É um hiperbolóide de uma folha. Na base própria, a equação canônica é u^2+z^2-tfracv^23=1, com eixo de simetria na direção (1,-1,0)/raiz2.

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