Identifique e esboce a quadrica
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a quádricas dada por
. O conteúdo é classificação de superfícies quadráticas via diagonalização de forma quadrática: precisamos montar a matriz simétrica associada, achar autovalores e autovetores e passar para a forma canônica.
Passo 2
Escrevemos a forma quadrática em termos de matriz. No subespaço
a parte é
Passo 3
Calculamos os autovalores de
:
As raízes são
(positivo) e
(negativo). No eixo
temos coeficiente
. Assim a forma tem dois autovalores positivos e um negativo, indicando um hiperbolóide de uma folha.
Passo 4
Para diagonalizar, fazemos rotação no plano
. Definimos
Em coordenadas
a forma vira
logo a equação completa fica
e dividindo por 3:
Passo 5
Essa é a forma canônica de um hiperbolóide de uma folha de revolução (dois sinais iguais positivos e um negativo). O eixo de simetria é a reta
-variável, isto é, na direção do vetor próprio correspondente a
, que é
.
Passo 6
O esboço é o de um hiperbolóide de uma folha circular ao redor do eixo
. É uma superfície aberta com interseções elípticas para
.
Resposta
É um hiperbolóide de uma folha. Na base própria, a equação canônica é
, com eixo de simetria na direção
.