O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
Estamos no tema de formas quadráticas em . Para classificar essa quád-drica precisamos escrever a expressão em termos de uma matriz simétrica, encontrar sua diagonalização (autovalores e autovetores) e ver quantos sinais positivos e negativos aparecem na forma canônica.
Passo 2
Escrevemos a forma quadrática em notação matricial. Seja e
A assinatura de A é (+,+,-), pois há dois autovalores positivos e um negativo. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha na forma canônica.
Passo 5
Em coordenadas próprias (u1,u2,u3) (obtidas pelas colunas da matriz ortogonal que diagonaliza A) a equação fica
4,u1^2+1,u2^2-2,u3^2=1
Dividindo por 1 e reorganizando, obtemos a forma padrão
u1^2tfrac14+u2^21-u3^2tfrac12=1,
confirmando o hiperbolóide de uma folha com eixos principais ao longo dos autovetores de A.
Passo 6
Para esboçar, note que em cada fatia u3=constante fixa temos curva elíptica
u1^2tfrac14+u2^21=1+u3^2tfrac12,
ou seja, elipses de semieixos que crescem conforme |u3| aumenta. O gráfico é uma superfície de uma só “peça” com curvatura negativa numa direção e positiva em outras duas.
Esboço em coordenadas (u1,u2,u3):
c diagup!!!!diagdown[-3pt] diagupdiagdown[-3pt] diagupdiagdown (vista lateral mostrando o pescoço e as abas elípticas) çí]
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha. Sua forma canônica em coordenadas próprias (u1,u2,u3) é
u1^2tfrac14+u2^21-u3^2tfrac12=1,
e o esboço mostra elipses em fatias u3=constante unidas numa única folha.