Identifique e esboce a quadrica
3 x^2+2 x y+2 x z+4 y z=1

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
3x^2+2xy+2xz+4yz=1
Estamos no tema de formas quadráticas em R^3. Para classificar essa quád-drica precisamos escrever a expressão em termos de uma matriz simétrica, encontrar sua diagonalização (autovalores e autovetores) e ver quantos sinais positivos e negativos aparecem na forma canônica.

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática em notação matricial. Seja x=(x,y,z)^T e
A= 3 & 1 & 1 1 & 0 & 2 1 & 2 & 0
de modo que
3x^2+2xy+2xz+4yz ;=;x^TA,x

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det 3-lambda & 1 & 1 1 & -lambda & 2 1 & 2 & -lambda =0
Expandindo obtemos
lambda^3-3lambda^2-6lambda+8=0,
cuja fatoração dá os autovalores
lambda1=1, lambda2=4, lambda3=-2

Passo 4

A assinatura de A é (+,+,-), pois há dois autovalores positivos e um negativo. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha na forma canônica.

Passo 5

Em coordenadas próprias (u1,u2,u3) (obtidas pelas colunas da matriz ortogonal que diagonaliza A) a equação fica
4,u1^2+1,u2^2-2,u3^2=1
Dividindo por 1 e reorganizando, obtemos a forma padrão
u1^2tfrac14+u2^21-u3^2tfrac12=1,
confirmando o hiperbolóide de uma folha com eixos principais ao longo dos autovetores de A.

Passo 6

Para esboçar, note que em cada fatia u3=constante fixa temos curva elíptica
u1^2tfrac14+u2^21=1+u3^2tfrac12,
ou seja, elipses de semieixos que crescem conforme |u3| aumenta. O gráfico é uma superfície de uma só “peça” com curvatura negativa numa direção e positiva em outras duas.
Esboço em coordenadas (u1,u2,u3):
c diagup!!!!diagdown[-3pt] diagupdiagdown[-3pt] diagupdiagdown (vista lateral mostrando o pescoço e as abas elípticas) çí]

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha. Sua forma canônica em coordenadas próprias (u1,u2,u3) é
u1^2tfrac14+u2^21-u3^2tfrac12=1,
e o esboço mostra elipses em fatias u3=constante unidas numa única folha.

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