Identifique e esboce a superfície quádrica.
(9 x^{2}+4 y^{2}-36 z^{2}=0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: identificar a superfície quádrica dada e esboçá‑la (mostrar como é, onde está o vértice, forma das seções, etc.). A equação fornecida é
9x^{2}+4y^{2}-36z^{2}=0.
Lista das informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação é homogênea de grau 2 (todos os termos têm grau 2).
  • O lado direito é 0.
  • Não foram dadas outras condições — a superfície é toda a solução desse polinômio em (x,y,z).

Passo 2

Reconhecer o tipo pela forma da equação (explicação didática, passo a passo).
  • Quando uma equação quadrática em x,y,z é homogênea (só termos de grau 2) e igual a zero, tipicamente descreve um cone (duas nappes) com vértice na origem, salvo casos degenerados.
  • Para ver isso de forma direta, isolo z^{2}. A equação pode ser reescrita dividindo por 36:
\frac{9x^{2}}{36}+\frac{4y^{2}}{36}-\frac{36z^{2}}{36}=0
ou seja
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-z^{2}=0.

Passo 3

Expressão explicativa que evidencia o cone.
  • Passe o termo de z^{2} para o outro lado:
z^{2}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}.
  • Esta forma mostra que z^{2} é uma soma de termos quadráticos em x e y. Para cada valor fixo de z\neq 0 a seção \{(x,y): com esse z\} satisfaz
\frac{x^{2}}{(2|z|)^{2}}+\frac{y^{2}}{(3|z|)^{2}}=1,
ou seja, uma elipse com semi‑eixos a=2|z| e b=3|z|.
  • Para z=0 a equação vira \,9x^{2}+4y^{2}=0, que só tem solução (x,y)=(0,0). Assim o vértice da superfície é a origem (0,0,0).

Passo 4

Traços em planos coordenados (útil para esboçar; explico como obter e interpretar).
  • Plano z=0: substituindo \,z=0 obtém‑se \,9x^{2}+4y^{2}=0 que implica x=0 e y=0. Então a interseção com o plano z=0 é só o ponto origem — confirma vértice no plano z=0.
  • Plano y=0: substituindo \,y=0 obtemos \,9x^{2}-36z^{2}=0\Rightarrow x^{2}=4z^{2}\Rightarrow x=\pm 2z. Na metade y=0 a superfície corta em duas retas x=2z e x=-2z (duas geratrizes).
  • Plano x=0: similarmente \,4y^{2}-36z^{2}=0\Rightarrow y=\pm 3z. Na metade x=0 a interseção são as retas y=3z e y=-3z.
  • Essas retas geradoras nas seções planas mostram que, em cada plano que contém o eixo z, a superfície é formada por duas retas passando pela origem — característica de um cone duplo.

Passo 5

Parâmetros e descrição geométrica clara (para desenhar no papel).
  • Uma parametrização conveniente que gera toda a superfície é
(x,y,z)=(2s\cos\theta,\;3s\sin\theta,\;s),
com parâmetros s\in\mathbb{R} e \theta\in[0,2\pi). Aqui s escala a seção (positivo dá a nappe superior, negativo a inferior) e \theta recorre a elipse de cada seção.
  • Interpretação geométrica: é um cone elíptico duplo (duas nappes simétricas em relação ao plano z=0), com vértice em (0,0,0) e eixo coincidente com o eixo z. Para cada altura z=k a seção é uma elipse de semi‑eixos 2|k| (direção x) e 3|k| (direção y). À medida que |z| cresce, as elipses crescem linearmente.

Passo 6

Como esboçar — instruções práticas passo a passo (faça no caderno; eu incentivo você a tentar).
  1. Desenhe os eixos x, y (horizontais) e z (vertical). Marque a origem.
  2. Na seção y=0 desenhe as retas x=\pm 2z passando pela origem (no plano x\!z). Essas são as geratrizes naquele plano.
  3. Na seção x=0 desenhe as retas y=\pm 3z (no plano y\!z).
  4. Em z=1 desenhe uma elipse centrada na reta z=1 com semi‑eixos 2 (eixo x) e 3 (eixo y). Em z=-1 desenhe a mesma elipse espelhada.
  5. Una suavemente as elipses e as retas geradoras, formando duas “nappes” cônicas que se estreitam até o vértice na origem.
    Dica simpática: desenhe primeiro as retas geradoras (são fáceis) e use elas como guia para as elipses — o cone ficará natural.

Resposta

Cone elíptico duplo com vértice em (0,0,0) e eixo no eixo z; equivalente a z^{2}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9},
cuja seção em z=k é uma elipse de semi‑eixos 2|k| e 3|k|.

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