Identifique e esboce a superfície quádrica.
(9 x^{2}+4 y^{2}-36 z^{2}=0)
(9 x^{2}+4 y^{2}-36 z^{2}=0)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: identificar a superfície quádrica dada e esboçá‑la (mostrar como é, onde está o vértice, forma das seções, etc.). A equação fornecida é
Lista das informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação é homogênea de grau
(todos os termos têm grau ). - O lado direito é
. - Não foram dadas outras condições — a superfície é toda a solução desse polinômio em
.
Passo 2
Reconhecer o tipo pela forma da equação (explicação didática, passo a passo).
- Quando uma equação quadrática em
é homogênea (só termos de grau ) e igual a zero, tipicamente descreve um cone (duas nappes) com vértice na origem, salvo casos degenerados. - Para ver isso de forma direta, isolo
. A equação pode ser reescrita dividindo por :
ou seja
Passo 3
Expressão explicativa que evidencia o cone.
- Passe o termo de
para o outro lado:
- Esta forma mostra que
é uma soma de termos quadráticos em e . Para cada valor fixo de a seção com esse satisfaz
ou seja, uma elipse com semi‑eixos
e
.
- Para
a equação vira , que só tem solução . Assim o vértice da superfície é a origem .
Passo 4
Traços em planos coordenados (útil para esboçar; explico como obter e interpretar).
- Plano
: substituindo obtém‑se que implica e . Então a interseção com o plano é só o ponto origem — confirma vértice no plano . - Plano
: substituindo obtemos . Na metade a superfície corta em duas retas e (duas geratrizes). - Plano
: similarmente . Na metade a interseção são as retas e . - Essas retas geradoras nas seções planas mostram que, em cada plano que contém o eixo
, a superfície é formada por duas retas passando pela origem — característica de um cone duplo.
Passo 5
Parâmetros e descrição geométrica clara (para desenhar no papel).
- Uma parametrização conveniente que gera toda a superfície é
com parâmetros
e
. Aqui
escala a seção (positivo dá a nappe superior, negativo a inferior) e
recorre a elipse de cada seção.
- Interpretação geométrica: é um cone elíptico duplo (duas nappes simétricas em relação ao plano
), com vértice em e eixo coincidente com o eixo . Para cada altura a seção é uma elipse de semi‑eixos (direção ) e (direção ). À medida que cresce, as elipses crescem linearmente.
Passo 6
Como esboçar — instruções práticas passo a passo (faça no caderno; eu incentivo você a tentar).
- Desenhe os eixos
, (horizontais) e (vertical). Marque a origem. - Na seção
desenhe as retas passando pela origem (no plano ). Essas são as geratrizes naquele plano. - Na seção
desenhe as retas (no plano ). - Em
desenhe uma elipse centrada na reta com semi‑eixos (eixo ) e (eixo ). Em desenhe a mesma elipse espelhada. - Una suavemente as elipses e as retas geradoras, formando duas “nappes” cônicas que se estreitam até o vértice na origem.
Dica simpática: desenhe primeiro as retas geradoras (são fáceis) e use elas como guia para as elipses — o cone ficará natural.
Resposta
Cone elíptico duplo com vértice em
e eixo no eixo
; equivalente a
cuja seção em
é uma elipse de semi‑eixos
e
.