Identifique e esboce a superfície quádrica.
x^{2}+y^{2}-z^{2}=9

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície quádruica
x^{2}+y^{2}-z^{2}=9
e pede duas coisas: (1) identificar que tipo de superfície é e (2) esboçá-la.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação completa da superfície é \,x^{2}+y^{2}-z^{2}=9.
  • Não há outros dados (nem constantes extras nem restrições de domínio).

Passo 2

Colocar a equação numa forma “canônica” ajuda a ver a classificação. Dividindo ambos os lados por 9 obtemos
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{9}=1.
Explicando devagar: escrevemos a equação como soma de dois termos positivos menos um termo positivo igual a 1. A presença de dois termos com sinal positivo (os de x^{2} e y^{2}) e um termo com sinal negativo (o de z^{2}) com o lado direito positivo é a característica típica de um hiperbolóide do tipo “uma folha”. Não precisa decorar, dá para entender pelos cortes (vamos ver já já).

Passo 3

Analisar cortes horizontais (planos z= constante) — isso mostra a “seção transversa” típica:
Fixando z=z_{0} obtemos
x^{2}+y^{2}=9+z_{0}^{2}.
Isso é a equação de um círculo de raio
r(z_{0})=\sqrt{9+z_{0}^{2}}.
Explicação didática: para cada z_{0} fixo, o conjunto de pontos da superfície com essa altura é um círculo centrado na origem do plano z=z_{0} e com raio \sqrt{9+z_{0}^{2}}. Exemplos numéricos fáceis de desenhar sem calculadora: para z_{0}=0 o raio é \sqrt{9}=3; para z_{0}=4 o raio é \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. Observação importante: o raio cresce quando |z_{0}| cresce, e é simétrico em relação ao plano z=0 (mesmo raio para z e -z). Isso mostra que a superfície é conectada (há círculos para todo z), logo é uma folha só.

Passo 4

Mostrar cortes verticais para ver a forma hiperbólica:
  • Corte pelo plano x=0: a equação vira
y^{2}-z^{2}=9,
que é uma hipérbole com duas ramas (em y positivas e negativas).
  • Corte pelo plano y=0: a equação vira
x^{2}-z^{2}=9,
outra hipérbole.
Essas hipérboles em cortes verticais são o que dá o aspecto “aberto” nas direções de z e mostram que a superfície tem curvatura negativa nessas direções — por isso o nome “hiperbolóide”.

Passo 5

Identificar o cone assintótico (comportamento para |z|\to\infty): divida a equação original por z^{2} (assumindo z\neq0) e observe o limite para |z| grande:
\frac{x^{2}}{z^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}-1=\frac{9}{z^{2}}\longrightarrow 0,
isto é, a superfície se aproxima da superfície dada por
x^{2}+y^{2}-z^{2}=0,
que é um cone duplo (cone assintótico). Em cortes pelo plano y=0 esse cone corresponde às retas x=\pm z (ângulo de 45^\circ com o eixo z). Na prática: ao desenhar, as “atalhas” da superfície tendem a alinhar-se com esse cone quando se vai para alturas grandes.

Passo 6

Uma parametrização útil (que também ajuda a entender a forma) é usar funções hiperbólicas: para u\in\mathbb{R} e v\in[0,2\pi) podemos escrever
x=3\operatorname{cosh} u\cos v,\qquad y=3\operatorname{cosh} u\sin v,\qquad z=3\operatorname{sinh} u.
Verificação curta (a conta que deve fazer numa prova): substituir essas expressões na equação dá
x^{2}+y^{2}-z^{2}=9\operatorname{cosh}^{2}u-9\operatorname{sinh}^{2}u=9(\operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u)=9,
pois \operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1. Interpretação: u controla a altura z (e também o raio via \operatorname{cosh} u), e v é o ângulo circular — mostra claramente a simetria de rotação em torno do eixo z.

Passo 7

Instruções passo a passo para esboçar à mão (sem régua complicada):
  1. Desenhe um sistema de eixos x, y no plano horizontal e z vertical.
  2. Marque o círculo central no plano z=0 com raio 3 (pois para z=0 temos x^{2}+y^{2}=9). Esse é o “cinturão” mais fino da superfície.
  3. Para alturas positivas pequenas desenhe círculos concêntricos com raio ligeiramente maior que 3 (por exemplo para z=1 o raio é \sqrt{10}\approx3{,}16); para z=4 o raio é 5. Faça o mesmo para alturas negativas (simetria).
  4. Ligue suavemente os perímetros desses círculos formando uma superfície contínua que se abre para cima e para baixo (como uma “torre” que afunila no meio, mas sem se fechar).
  5. Opcional: desenhe o cone x^{2}+y^{2}=z^{2} tracejado para indicar as direções assintóticas; isso ajuda a ver que as partes altas da superfície tendem ao cone.
  6. Se quiser enfatizar cortes, desenhe no plano y=0 a hipérbole x^{2}-z^{2}=9 como guia para a forma longitudinal.

Passo 8

Resumo das propriedades principais (úteis na prova):
  • A superfície é um hiperbolóide de uma folha; é simétrica por rotação em torno do eixo z e simétrica em relação ao plano z=0.
  • Seções horizontais z= constante são círculos de raio \sqrt{9+z^{2}}.
  • Seções verticais (por exemplo x=0 ou y=0) são hipérboles.
  • Cone assintótico: x^{2}+y^{2}-z^{2}=0.
  • Parametrização: x=3\operatorname{cosh} u\cos v,\; y=3\operatorname{cosh} u\sin v,\; z=3\operatorname{sinh} u.

Resposta

Hiperbolóide de uma folha (eixo de revolução ao redor de z); seções z= constante são círculos de raio \sqrt{9+z^{2}}; cone assintótico x^{2}+y^{2}-z^{2}=0.

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