Identifique e esboce a superfície quádrica.
Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície quádruica
e pede duas coisas: (1) identificar que tipo de superfície é e (2) esboçá-la.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação completa da superfície é
. - Não há outros dados (nem constantes extras nem restrições de domínio).
Passo 2
Colocar a equação numa forma “canônica” ajuda a ver a classificação. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Explicando devagar: escrevemos a equação como soma de dois termos positivos menos um termo positivo igual a
. A presença de dois termos com sinal positivo (os de
e
) e um termo com sinal negativo (o de
) com o lado direito positivo é a característica típica de um hiperbolóide do tipo “uma folha”. Não precisa decorar, dá para entender pelos cortes (vamos ver já já).
Passo 3
Analisar cortes horizontais (planos
constante) — isso mostra a “seção transversa” típica:
Fixando obtemos
Fixando
Isso é a equação de um círculo de raio
Explicação didática: para cada
fixo, o conjunto de pontos da superfície com essa altura é um círculo centrado na origem do plano
e com raio
. Exemplos numéricos fáceis de desenhar sem calculadora: para
o raio é
; para
o raio é
. Observação importante: o raio cresce quando
cresce, e é simétrico em relação ao plano
(mesmo raio para
e
). Isso mostra que a superfície é conectada (há círculos para todo
), logo é uma folha só.
Passo 4
Mostrar cortes verticais para ver a forma hiperbólica:
- Corte pelo plano
: a equação vira
que é uma hipérbole com duas ramas (em
positivas e negativas).
- Corte pelo plano
: a equação vira
outra hipérbole.
Essas hipérboles em cortes verticais são o que dá o aspecto “aberto” nas direções de e mostram que a superfície tem curvatura negativa nessas direções — por isso o nome “hiperbolóide”.
Essas hipérboles em cortes verticais são o que dá o aspecto “aberto” nas direções de
Passo 5
Identificar o cone assintótico (comportamento para
): divida a equação original por
(assumindo
) e observe o limite para
grande:
isto é, a superfície se aproxima da superfície dada por
que é um cone duplo (cone assintótico). Em cortes pelo plano
esse cone corresponde às retas
(ângulo de
com o eixo
). Na prática: ao desenhar, as “atalhas” da superfície tendem a alinhar-se com esse cone quando se vai para alturas grandes.
Passo 6
Uma parametrização útil (que também ajuda a entender a forma) é usar funções hiperbólicas: para
e
podemos escrever
Verificação curta (a conta que deve fazer numa prova): substituir essas expressões na equação dá
pois
. Interpretação:
controla a altura
(e também o raio via
), e
é o ângulo circular — mostra claramente a simetria de rotação em torno do eixo
.
Passo 7
Instruções passo a passo para esboçar à mão (sem régua complicada):
- Desenhe um sistema de eixos
, no plano horizontal e vertical. - Marque o círculo central no plano
com raio (pois para temos ). Esse é o “cinturão” mais fino da superfície. - Para alturas positivas pequenas desenhe círculos concêntricos com raio ligeiramente maior que
(por exemplo para o raio é ); para o raio é . Faça o mesmo para alturas negativas (simetria). - Ligue suavemente os perímetros desses círculos formando uma superfície contínua que se abre para cima e para baixo (como uma “torre” que afunila no meio, mas sem se fechar).
- Opcional: desenhe o cone
tracejado para indicar as direções assintóticas; isso ajuda a ver que as partes altas da superfície tendem ao cone. - Se quiser enfatizar cortes, desenhe no plano
a hipérbole como guia para a forma longitudinal.
Passo 8
Resumo das propriedades principais (úteis na prova):
- A superfície é um hiperbolóide de uma folha; é simétrica por rotação em torno do eixo
e simétrica em relação ao plano . - Seções horizontais
constante são círculos de raio . - Seções verticais (por exemplo
ou ) são hipérboles. - Cone assintótico:
. - Parametrização:
Resposta
Hiperbolóide de uma folha (eixo de revolução ao redor de
); seções
constante são círculos de raio
; cone assintótico
.