(3 pontos) Para o sólido descrito abaixo, represente no plano o domínio para uma integral dupla que calcule seu volume. Qual a ordem de integração (Tipo I ou Tipo II) mais fácil para resolver a integral? Justifique. Escreva a integral usando a ordem de integração escolhida e resolva a integral.
Obs.: Há 1 ponto extra na prova!
Obs.: Há 1 ponto extra na prova!
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o volume do sólido que é “abaixo do plano”
e “acima da região” do plano
delimitada pelas curvas
e
. Ou seja:
- Identificar a região
no plano limitada por e . - Representar essa região para usar numa integral dupla que calcule o volume.
- Escolher qual ordem de integração (Tipo I ou Tipo II) é mais fácil e justificar.
- Montar a integral dupla correspondente, resolvê-la e obter o volume.
Informações relevantes dadas:
- Plano superior do sólido:
- Região de projeção sobre o plano
: limitada pelas curvas e
Observação implícita que vamos usar: o sólido é o conjunto de pontos
com
(a região do
-plano) e
altura dada pelo plano; assim a altura em cada
é a coordenada
da intersecção com o plano, que isolaremos a seguir.
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção das curvas que delimitam
. Igualando as duas expressões para
:
Igualando
obtemos
Para
temos
. Para
temos
. Portanto os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Precisamos descrever a região
entre as duas curvas. As duas curvas escritas como funções de
são:
Para
temos
, logo
. Assim, sobre o intervalo
a parábola fica acima da reta. Portanto a região
é
(Isto descreve
com fatias verticais: para cada
entre
e
,
varia da reta até a parábola.)
Passo 4
Decisão da ordem de integração e justificativa:
- Se escolhermos fatias verticais (Tipo I), as fronteiras em
são e , funções polinomiais simples. O intervalo em é . Nenhuma raiz quadrada aparece. Isso torna as integrais algébricas e diretas. - Se escolhermos fatias horizontais (Tipo II), para uma dada
teremos variando entre as curvas reescritas como (reta) e (ramo positivo da parábola), o que introduz a raiz quadrada e torna a integral um pouco menos direta.
Por essas razões a ordem Tipo I (integrar
primeiro, depois
) é a mais simples aqui.
Passo 5
Expressão da altura do sólido (integrando sobre
):
Isolando no plano:
Isolando
Como o sólido está “acima da região” no plano
(isto é, para cada
o
vai de
até o plano), o integrando para o volume é a altura
.
Montamos então a integral Tipo I:
Passo 6
Calcular a integral interna em
. Integrando
em
:
Avaliando entre
e
:
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro calculemos os termos:
Somando os dois primeiros e subtraindo o dobro do terceiro (pois há dois termos iguais):
Agora simplificando:
Portanto a integral interna reduziu-se a um polinômio em
:
Passo 7
Agora integramos em
de
a
:
Integramos termo a termo:
Somando esses resultados obtemos a expressão final antes da redução: