(3 pontos) Para o sólido descrito abaixo, represente no plano o domínio para uma integral dupla que calcule seu volume. Qual a ordem de integração (Tipo I ou Tipo II) mais fácil para resolver a integral? Justifique. Escreva a integral usando a ordem de integração escolhida e resolva a integral.
Obs.: Há 1 ponto extra na prova!
\begin{aligned} & \text { Abaixo do plano } x-2 y+z=1 \text { e acima da região } \\\ & \qquad \text { delimitada por } x+y=1 \text { e } x^{2}+y=1 \end{aligned}ã

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o volume do sólido que é “abaixo do plano” x-2y+z=1 e “acima da região” do plano xy delimitada pelas curvas x+y=1 e x^{2}+y=1. Ou seja:
  • Identificar a região D no plano xy limitada por x+y=1 e x^{2}+y=1.
  • Representar essa região para usar numa integral dupla que calcule o volume.
  • Escolher qual ordem de integração (Tipo I ou Tipo II) é mais fácil e justificar.
  • Montar a integral dupla correspondente, resolvê-la e obter o volume.
Informações relevantes dadas:
  • Plano superior do sólido: x-2y+z=1.
  • Região de projeção sobre o plano xy: limitada pelas curvas x+y=1 e x^{2}+y=1.
Observação implícita que vamos usar: o sólido é o conjunto de pontos (x,y,z) com (x,y)\in D (a região do xy-plano) e 0\le z\le altura dada pelo plano; assim a altura em cada (x,y) é a coordenada z da intersecção com o plano, que isolaremos a seguir.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção das curvas que delimitam D. Igualando as duas expressões para y:
x+y=1\quad\Rightarrow\quad y=1-x,
x^{2}+y=1\quad\Rightarrow\quad y=1-x^{2}.
Igualando 1-x=1-x^{2} obtemos
1-x=1-x^{2}\quad\Rightarrow\quad -x=-x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}-x=0
\Rightarrow\quad x(x-1)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\\ \text{ou}\\ x=1.
Para x=0 temos y=1. Para x=1 temos y=0. Portanto os pontos de interseção são (0,1) e (1,0).

Passo 3

Precisamos descrever a região D entre as duas curvas. As duas curvas escritas como funções de x são:
y_{\text{reta}}(x)=1-x,\qquad y_{\text{parábola}}(x)=1-x^{2}.á
Para x\in[0,1] temos x^{2}\le x, logo 1-x^{2}\ge 1-x. Assim, sobre o intervalo x\in[0,1] a parábola fica acima da reta. Portanto a região D é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\\\ 1-x \le y \le 1-x^{2}\}.
(Isto descreve D com fatias verticais: para cada x entre 0 e 1, y varia da reta até a parábola.)

Passo 4

Decisão da ordem de integração e justificativa:
  • Se escolhermos fatias verticais (Tipo I), as fronteiras em y são y=1-x e y=1-x^{2}, funções polinomiais simples. O intervalo em x é [0,1]. Nenhuma raiz quadrada aparece. Isso torna as integrais algébricas e diretas.
  • Se escolhermos fatias horizontais (Tipo II), para uma dada y teremos x variando entre as curvas reescritas como x=1-y (reta) e x=\sqrt{\,1-y\,} (ramo positivo da parábola), o que introduz a raiz quadrada \sqrt{1-y} e torna a integral um pouco menos direta.
Por essas razões a ordem Tipo I (integrar y primeiro, depois x) é a mais simples aqui.

Passo 5

Expressão da altura do sólido (integrando sobre D):
Isolando z no plano:
x-2y+z=1\quad\Rightarrow\quad z=1-x+2y.
Como o sólido está “acima da região” no plano xy (isto é, para cada (x,y)\in D o z vai de 0 até o plano), o integrando para o volume é a altura z_{\text{top}}-z_{\text{bottom}}=1-x+2y-0=1-x+2y.
Montamos então a integral Tipo I:
V=\iint_{D}(1-x+2y)\,dA=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=1-x}^{\,1-x^{2}}(1-x+2y)\,dy\right)dx.

Passo 6

Calcular a integral interna em y. Integrando 1-x+2y em y:
\int(1-x+2y)\,dy=(1-x)y+y^{2}+C.
Avaliando entre y=1-x e y=1-x^{2}:
\int_{y=1-x}^{\,1-x^{2}}(1-x+2y)\,dy =(1-x)(1-x^{2})+(1-x^{2})^{2} -\big[(1-x)(1-x)+(1-x)^{2}\big].
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro calculemos os termos:
(1-x)(1-x^{2})=1-x-x^{2}+x^{3},
(1-x^{2})^{2}=1-2x^{2}+x^{4},
(1-x)(1-x)=(1-x)^{2}=1-2x+x^{2}.
Somando os dois primeiros e subtraindo o dobro do terceiro (pois há dois termos iguais):
(1-x)(1-x^{2})+(1-x^{2})^{2} -2(1-x)^{2} = (1-x-x^{2}+x^{3})+(1-2x^{2}+x^{4}) -2(1-2x+x^{2}).
Agora simplificando:
=2 -x -3x^{2}+x^{3}+x^{4} -2+4x-2x^{2} = x^{4}+x^{3}-5x^{2}+3x.
Portanto a integral interna reduziu-se a um polinômio em x:
\int_{y=1-x}^{\,1-x^{2}}(1-x+2y)\,dy = x^{4}+x^{3}-5x^{2}+3x.

Passo 7

Agora integramos em x de 0 a 1:
V=\int_{0}^{1}\big(x^{4}+x^{3}-5x^{2}+3x\big)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}x^{4}\,dx=\frac{1}{5},\qquad \int_{0}^{1}x^{3}\,dx=\frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1}(-5x^{2})\,dx=-5\cdot\frac{1}{3},\qquad \int_{0}^{1}3x\,dx=3\cdot\frac{1}{2}.
Somando esses resultados obtemos a expressão final antes da redução:
V=\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{5}{3}+\frac{3}{2}.

Resposta

V=\frac{17}{60}

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