Identifique e esboce as superfícies quádricas
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádricas
e pede para identificá-la (isto é, descobrir de que tipo de quadric surface se trata) e fazer um esboço. Para isso vamos relembrar a classificação de superfícies quádricas e estudar seções transversais em planos coordenados.
Passo 2
Isolando
na equação original, obtemos a forma
Essa reescrita mostra que
cresce quadraticamente em
e
.
Passo 3
Analisando seções transversais:
- Em um plano perpendicular ao eixo
, isto é, para fixo, temos que é uma circunferência de raio no plano . - No plano
surge a parábola que abre para . - No plano
temos igualmente outra parábola idêntica, também com eixo em .
Passo 4
Como as seções transversais em planos perpendiculares ao eixo
são círculos e nos planos que contêm o eixo
são parábolas, concluímos que a superfície é um paraboloide elíptico (no caso circular) cujo eixo de simetria é o eixo
, com vértice em
e que abre para valores positivos de
.
Resposta
A superfície
é um paraboloide elíptico (circular) de eixo no eixo
, vértice na origem e abertura para
. O esboço corresponde a um “bule” ou “tigela” de boca voltada para o lado positivo de
.