Identifique e esboce as superfícies quádricas
z^{2}+y^{2}=\frac{x}{4}

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádricas
z^{2} + y^{2} = \frac{x}{4}
e pede para identificá-la (isto é, descobrir de que tipo de quadric surface se trata) e fazer um esboço. Para isso vamos relembrar a classificação de superfícies quádricas e estudar seções transversais em planos coordenados.

Passo 2

Isolando x na equação original, obtemos a forma
x = 4\,\bigl(y^{2} + z^{2}\bigr).
Essa reescrita mostra que x cresce quadraticamente em y e z.

Passo 3

Analisando seções transversais:
  • Em um plano perpendicular ao eixo x, isto é, para x=x_{0} fixo, temos y^{2} + z^{2} = \frac{x_{0}}{4},que é uma circunferência de raio \sqrt{x_{0}/4} no plano (y,z).
  • No plano z=0 surge a parábola y^{2} = \frac{x}{4},que abre para x>0.
  • No plano y=0 temos igualmente z^{2} = \frac{x}{4},outra parábola idêntica, também com eixo em x.

Passo 4

Como as seções transversais em planos perpendiculares ao eixo x são círculos e nos planos que contêm o eixo x são parábolas, concluímos que a superfície é um paraboloide elíptico (no caso circular) cujo eixo de simetria é o eixo x, com vértice em (0,0,0) e que abre para valores positivos de x.

Resposta

A superfície
z^{2} + y^{2} = \frac{x}{4}
é um paraboloide elíptico (circular) de eixo no eixo x, vértice na origem e abertura para x>0. O esboço corresponde a um “bule” ou “tigela” de boca voltada para o lado positivo de x.

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