Use o algoritmo de Fermat para fatorar 400 e 360.

Passo 1

O algoritmo de Fermat parte da ideia de escrever um inteiro n como diferença de dois quadrados, isto é,
n = a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Para isso, definimos
a = lceil raiznrceil
e procuramos o menor a tal que
b^2 = a^2 - n
seja um quadrado perfeito. Quando encontramos b, obtemos a fatoração de n em dois números não triviais. Caso queiramos a fatoração completa em primos, aplicamos o mesmo procedimento recursivamente ou fazemos a fatoração direta dos fatores obtidos.

Passo 2

Aplicando a n=400:
1. Calculamos raiz400=20, logo
a = lceil 20rceil = 20
2. Verificamos
b^2 = a^2 - n = 20^2 - 400 = 400 - 400 = 0,
que é 0^2. Portanto b=0.
3. A fatoração é
400 = (a - b)(a + b) = (20 - 0)(20 + 0) = 20 times 20
4. Para chegar aos fatores primos, repetimos a fatoração de 20 (ou fazemos direto):
20 = 2^2 times 5,
então
400 = 20 times 20 = (2^2times5)times(2^2times5) = 2^4times5^2

Passo 3

Aplicando a n=360:
1. Estimamos raiz360approx18,97, então
a = lceil 18,97rceil = 19
2. Calculamos
b^2 = a^2 - n = 19^2 - 360 = 361 - 360 = 1,
que é 1^2. Logo b=1.
3. Obtemos
360 = (a - b)(a + b) = (19 - 1)(19 + 1) = 18 times 20
4. Fatorando 18 e 20 em primos:
18 = 2 times 3^2, 20 = 2^2 times 5
Assim
360 = (2times3^2)times(2^2times5) = 2^3times3^2times5

Resposta

400= 2^4 times 5^2 360= 2^3 times 3^2 times 5

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