Identifique o fenômeno (Batimento ou Ressonância) que ocorrerá na EDO:
. Justifique comparando os “omegas”.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial forçada
e pede para identificar se o fenômeno será “Batimento” ou “Ressonância”, justificando por comparação dos “ômegas” (frequências angulares). Informação relevante:
- termo homogêneo tem coeficiente
; - termo forçante tem frequência angular
Passo 2
Calcular a frequência natural (ângular) do sistema homogêneo. Para a EDO
a equação característica é
, com raízes
. Portanto a frequência natural (ângular) é
A frequência angular do forçante é
Comparação direta:
e
.
Passo 3
Definir o que é ressonância e quando ela ocorre (explicação didática).
- Ressonância (no oscilador harmônico linear sem amortecimento) acontece quando a frequência do forçante coincide exatamente com a frequência natural, isto é quando
- Em termos práticos, se
a solução particular do tipo não resolve (o denominador fica zero) e aparece uma solução particular com termo proporcional a (por exemplo ), o que causa crescimento sem limite no modelo linear não amortecido (resposta secular). Em outras palavras, exige igualdade exata das frequências para ter ressonância verdadeira.
No nosso caso
e
. Como
(não são iguais), NÃO há ressonância exata.
Passo 4
Definir o que são batimentos e por que aparecem (explicação didática).
- Batimentos ocorrem quando há superposição de oscilações com frequências próximas, mas não idênticas. No problema, a solução geral tem um termo da solução homogênea com frequência
e um termo particular forçado com frequência . A soma de dois termos oscilatórios com frequências próximas produz uma modulação lenta da amplitude (batimento).
Vamos encontrar a solução particular e mostrar a estrutura:
Procuramos uma solução particular na forma . Substituindo em
vem
Procuramos uma solução particular na forma
Assim
Calcule o denominador:
Logo
A solução geral é
Aqui
dependem das condições iniciais; o primeiro bloco oscila com frequência
e o último com
.
Passo 5
Mostrar como da soma surge o batimento (identidade trigonométrica e interpretação).
- A soma de duas cossenos de frequências próximas pode ser escrita (no caso simples de amplitudes iguais) como produto que exibe uma oscilação rápida com envelope lento:
A primeira fator é a oscilação rápida com frequência angular média
e o segundo fator é a modulação lenta (envelope) com frequência angular
. Mesmo quando as amplitudes não são exatamente iguais, a superposição ainda gera uma variação lenta da amplitude com escala de tempo governada por
.
No nosso problema a diferença angular é
Portanto a modulação lenta (meia diferença na identidade) tem frequência angular
e os máximos de amplitude (batimentos) ocorrem com taxa (em Hz)
ou seja, acontecerão batimentos bem lentos, porque as frequências são próximas mas distintas.
Passo 6
Conclusão interpretativa e motivadora.
- Como
não é igual a mas é próximo, o sistema NÃO entra em ressonância; em vez disso, a superposição da resposta natural ( ) com a resposta forçada ( ) gera batimentos — uma modulação lenta da amplitude com diferença angular . Boa notícia: é mais fácil de controlar na prova — basta comparar as frequências e aplicar a ideia acima. Você consegue!
Resposta
Batimento