Identifique o fenômeno (Batimento ou Ressonância) que ocorrerá na EDO: y^{\prime \prime}+25 y=3 \cos (4.8 t). Justifique comparando os “omegas”.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial forçada
y'' + 25\,y = 3\cos(4,8\,t)
e pede para identificar se o fenômeno será “Batimento” ou “Ressonância”, justificando por comparação dos “ômegas” (frequências angulares). Informação relevante:
  • termo homogêneo tem coeficiente 25;
  • termo forçante tem frequência angular \,4,8\,$ (rad/s) no argumento do cosseno; - pergunta: batimento ou ressonância?â

Passo 2

Calcular a frequência natural (ângular) do sistema homogêneo. Para a EDO
y'' + 25\,y = 0
a equação característica é r^2 + 25 = 0, com raízes r=\pm 5i. Portanto a frequência natural (ângular) é
\omega_0 = 5.
A frequência angular do forçante é
\omega = 4,8.
Comparação direta: \omega_0 = 5 e \omega = 4,8.

Passo 3

Definir o que é ressonância e quando ela ocorre (explicação didática).
  • Ressonância (no oscilador harmônico linear sem amortecimento) acontece quando a frequência do forçante coincide exatamente com a frequência natural, isto é quando
\omega = \omega_0.
  • Em termos práticos, se \omega=\omega_0 a solução particular do tipo A\cos(\omega t) não resolve (o denominador fica zero) e aparece uma solução particular com termo proporcional a t (por exemplo t\sin(\omega t)), o que causa crescimento sem limite no modelo linear não amortecido (resposta secular). Em outras palavras, exige igualdade exata das frequências para ter ressonância verdadeira.
No nosso caso \omega_0=5 e \omega=4,8. Como \omega\neq\omega_0 (não são iguais), NÃO há ressonância exata.

Passo 4

Definir o que são batimentos e por que aparecem (explicação didática).
  • Batimentos ocorrem quando há superposição de oscilações com frequências próximas, mas não idênticas. No problema, a solução geral tem um termo da solução homogênea com frequência \omega_0 e um termo particular forçado com frequência \omega. A soma de dois termos oscilatórios com frequências próximas produz uma modulação lenta da amplitude (batimento).
Vamos encontrar a solução particular e mostrar a estrutura:
Procuramos uma solução particular na forma y_p(t)=A\cos(4,8\,t). Substituindo em y''+25y=3\cos(4,8t) vem
-A(4,8)^2\cos(4,8t) + 25A\cos(4,8t) = 3\cos(4,8t).
Assim
A\bigl(25-(4,8)^2\bigr)=3.
Calcule o denominador:
(4,8)^2 = 23,04,\qquad 25-23,04=1,96.
Logo
A=\frac{3}{1,96}\approx 1,5306\ldots
A solução geral é
y(t)=C_1\cos(5t)+C_2\sin(5t)+\frac{3}{1,96}\cos(4,8t).
Aqui C_1,C_2 dependem das condições iniciais; o primeiro bloco oscila com frequência \omega_0=5 e o último com \omega=4,8.

Passo 5

Mostrar como da soma surge o batimento (identidade trigonométrica e interpretação).
  • A soma de duas cossenos de frequências próximas pode ser escrita (no caso simples de amplitudes iguais) como produto que exibe uma oscilação rápida com envelope lento:
\cos(5t)+\cos(4,8t)=2\cos\!\Bigl(\frac{5+4,8}{2}t\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{5-4,8}{2}t\Bigr).
A primeira fator é a oscilação rápida com frequência angular média \frac{5+4,8}{2}=4,9 e o segundo fator é a modulação lenta (envelope) com frequência angular \frac{5-4,8}{2}=0,1. Mesmo quando as amplitudes não são exatamente iguais, a superposição ainda gera uma variação lenta da amplitude com escala de tempo governada por |\omega_0-\omega|.
No nosso problema a diferença angular é
\Delta\omega = \omega_0-\omega = 5-4,8=0,2.
Portanto a modulação lenta (meia diferença na identidade) tem frequência angular 0,1 e os máximos de amplitude (batimentos) ocorrem com taxa (em Hz)
\frac{\Delta\omega}{2\pi}=\frac{0,2}{2\pi}\approx 0,0318\\ \text{Hz},
ou seja, acontecerão batimentos bem lentos, porque as frequências são próximas mas distintas.

Passo 6

Conclusão interpretativa e motivadora.
  • Como \omega não é igual a \omega_0 mas é próximo, o sistema NÃO entra em ressonância; em vez disso, a superposição da resposta natural ( \omega_0=5) com a resposta forçada ( \omega=4,8) gera batimentos — uma modulação lenta da amplitude com diferença angular \Delta\omega=0,2. Boa notícia: é mais fácil de controlar na prova — basta comparar as frequências e aplicar a ideia acima. Você consegue!

Resposta

Batimento

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