Uma boia de monitoramento oceânico possui massa m=10 \mathrm{~kg} e flutua com rigidez equivalente k=40 \mathrm{N} / \mathrm{m}. Determine a sua frequência natural \omega_{0} de oscilação vertical.

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Massa da boia: m=10\\ \mathrm{kg}.
  • Rigidez equivalente (constante elástica): k=40\\ \mathrm{N/m}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a frequência natural de oscilação vertical \omega_{0} (angular) da boia.

Passo 2

Modelagem física e equação do movimento (passo-a-passo didático).
Quando um corpo de massa m está ligado a uma “mola” de rigidez k e se desloca verticalmente com pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio, a força restauradora elástica é dada por -k y, onde y(t) é o deslocamento vertical a partir do equilíbrio (sinal negativo porque a força tende a trazer de volta ao equilíbrio). Aplicando a Segunda Lei de Newton:
m\,\ddot{y}(t) = -k\,y(t).
Explicando cada símbolo:
  • m é a massa em quilogramas;
  • y(t) é o deslocamento (em metros) como função do tempo;
  • \ddot{y}(t) é a aceleração ( \mathrm{m/s^2});
  • k é a rigidez em \mathrm{N/m};
  • o produto k\,y tem unidades de N (força).

Passo 3

Resolver a equação diferencial e identificar \omega_{0}.
A equação pode ser escrita como
m\,\ddot{y} + k\,y = 0.
Dividindo por m:
\ddot{y} + \frac{k}{m}\,y = 0.
Esta é a equação do oscilador harmônico simples. A solução típica é uma oscilação senoidal com frequência angular
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Interpretação: \omega_{0} é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}) que diz a rapidez com que a boia oscila em redor do equilíbrio. A fórmula mostra que quanto maior k (mola mais rígida), maior \omega_0; quanto maior m, menor \omega_0.

Passo 4

Substituir os valores dados e calcular passo a passo.
Calcular a razão:
\frac{k}{m}=\frac{40\\ \mathrm{N/m}}{10\\ \mathrm{kg}}=4\\ \mathrm{s^{-2}}.
Agora a raiz quadrada:
\omega_{0}=\sqrt{4\\ \mathrm{s^{-2}}}=2\\ \mathrm{s^{-1}}.
Escrevendo a unidade de forma usual para frequência angular:
\omega_{0}=2\\ \mathrm{rad/s}.
Verificação dimensional rápida (para ficar seguro): \mathrm{N/m} = (\mathrm{kg\cdot m/s^2})/ \mathrm{m} = \mathrm{kg/s^2}. Assim (k/m) tem unidade \mathrm{s^{-2}}, e a raiz tem unidade \mathrm{s^{-1}} (ou \mathrm{rad/s}), como esperado.

Passo 5

Comentário prático e dica para a prova (rápido e amigo).
  • Fórmula chave para lembrar em problemas de oscilador massa-mola: \omega_{0}=\sqrt{k/m}. Memoriza isso: resolve muitos exercícios em segundos.
  • Se precisar da frequência em hertz (oscilações por segundo), usa f=\dfrac{\omega_{0}}{2\pi}. Aqui, por curiosidade,
f=\frac{2}{2\pi}=\frac{1}{\pi}\approx 0,318\\ \mathrm{Hz}.
Mas o enunciado pediu \omega_{0}, então a resposta final é o valor angular.

Resposta

\omega_{0}=2\\ \mathrm{rad/s}

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