Uma boia de monitoramento oceânico possui massa
e flutua com rigidez equivalente
. Determine a sua frequência natural
de oscilação vertical.
Passo 1
O que o enunciado dá:
- Massa da boia:
. - Rigidez equivalente (constante elástica):
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a frequência natural de oscilação vertical
(angular) da boia.
Passo 2
Modelagem física e equação do movimento (passo-a-passo didático).
Quando um corpo de massa
está ligado a uma “mola” de rigidez
e se desloca verticalmente com pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio, a força restauradora elástica é dada por
, onde
é o deslocamento vertical a partir do equilíbrio (sinal negativo porque a força tende a trazer de volta ao equilíbrio). Aplicando a Segunda Lei de Newton:
Explicando cada símbolo:
-
é a massa em quilogramas; -
é o deslocamento (em metros) como função do tempo; -
é a aceleração ( ); -
é a rigidez em ; - o produto
tem unidades de N (força).
Passo 3
Resolver a equação diferencial e identificar
.
A equação pode ser escrita como
Dividindo por
:
Esta é a equação do oscilador harmônico simples. A solução típica é uma oscilação senoidal com frequência angular
Interpretação:
é a frequência angular (em
) que diz a rapidez com que a boia oscila em redor do equilíbrio. A fórmula mostra que quanto maior
(mola mais rígida), maior
; quanto maior
, menor
.
Passo 4
Substituir os valores dados e calcular passo a passo.
Calcular a razão:
Agora a raiz quadrada:
Escrevendo a unidade de forma usual para frequência angular:
Verificação dimensional rápida (para ficar seguro):
. Assim
tem unidade
, e a raiz tem unidade
(ou
), como esperado.
Passo 5
Comentário prático e dica para a prova (rápido e amigo).
- Fórmula chave para lembrar em problemas de oscilador massa-mola:
. Memoriza isso: resolve muitos exercícios em segundos. - Se precisar da frequência em hertz (oscilações por segundo), usa
. Aqui, por curiosidade,
Mas o enunciado pediu
, então a resposta final é o valor angular.