Em uma ETE (Estação de Tratamento de Esgoto), as paredes de um decantador vibram devido a uma bomba descalibrada, seguindo
. Determine apenas a solução de estado estacionário.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento harmônico:
Pede-se apenas a solução de estado estacionário (ou seja, a solução particular que permanece quando os transientes já decaíram). Informações relevantes:
- O forçamento é
, frequência igual a . - A equação homogênea associada é
. - Queremos a solução estacionária periódica forçada, não a solução geral com termos transientes.
Passo 2
Idéia do método (explicação didática): para encontrar a solução de estado estacionário, procuramos uma solução particular com a mesma frequência da força externa. Como a força é
, uma escolha natural é a ansatz (palpite) da forma
onde
e
são constantes a determinar. Por que isso funciona? Porque para equações lineares com coeficientes constantes e forçamento senoidal, a resposta no regime permanente também será uma combinação senos/cossenos da mesma frequência (possivelmente defasada e com amplitude modificada). A técnica usada chama-se coeficientes indeterminados.
Passo 3
Calcule as derivadas de
. Aqui cada símbolo tem sentido:
-
e são constantes desconhecidas. - Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Passo 4
Substitua
,
e
na equação diferencial e agrupe os termos em
e
. Começando pela soma dos termos:
Agora agrupe coeficientes de
e
separadamente. Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto
Essa expressão deve ser igual à força
, ou seja:
Passo 5
Igualando coeficientes de
Resolva o sistema. Da primeira equação
.]
Passo 6
Escreva a solução particular encontrada. Substituindo
e
em
:
Justificativa final (por que é o estado estacionário): a solução geral da equação é
onde
é solução da homogênea. As raízes do polinômio característico
são
, com parte real negativa
, logo
contém termos exponencialmente decrescentes. Assim, para tempos grandes os transientes
morrem e resta apenas
, que é exatamente o estado estacionário periódico dado acima.