Em uma ETE (Estação de Tratamento de Esgoto), as paredes de um decantador vibram devido a uma bomba descalibrada, seguindo y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=\sin (t). Determine apenas a solução de estado estacionário.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento harmônico:
y''+y'+2y=\sin(t).
Pede-se apenas a solução de estado estacionário (ou seja, a solução particular que permanece quando os transientes já decaíram). Informações relevantes:
  • O forçamento é \sin(t), frequência igual a 1.
  • A equação homogênea associada é y''+y'+2y=0.
  • Queremos a solução estacionária periódica forçada, não a solução geral com termos transientes.

Passo 2

Idéia do método (explicação didática): para encontrar a solução de estado estacionário, procuramos uma solução particular com a mesma frequência da força externa. Como a força é \sin(t), uma escolha natural é a ansatz (palpite) da forma
y_p(t)=A\cos(t)+B\sin(t),
onde A e B são constantes a determinar. Por que isso funciona? Porque para equações lineares com coeficientes constantes e forçamento senoidal, a resposta no regime permanente também será uma combinação senos/cossenos da mesma frequência (possivelmente defasada e com amplitude modificada). A técnica usada chama-se coeficientes indeterminados.

Passo 3

Calcule as derivadas de y_p. Aqui cada símbolo tem sentido:
  • A e B são constantes desconhecidas.
  • Primeira derivada:
y_p'(t) = -A\sin(t)+B\cos(t).
  • Segunda derivada:
y_p''(t) = -A\cos(t)-B\sin(t).

Passo 4

Substitua y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial e agrupe os termos em \cos(t) e \sin(t). Começando pela soma dos termos:
y_p''+y_p'+2y_p = (-A\cos t - B\sin t) + (-A\sin t + B\cos t) + 2(A\cos t + B\sin t).
Agora agrupe coeficientes de \cos(t) e \sin(t) separadamente. Coeficiente de \cos(t):
(-A) + B + 2A = A + B.
Coeficiente de \sin(t):
(-B) + (-A) + 2B = -A + B.
Portanto
y_p''+y_p'+2y_p = (A+B)\cos t + (-A+B)\sin t.
Essa expressão deve ser igual à força \sin(t), ou seja:
(A+B)\cos t + (-A+B)\sin t = 0\cdot\cos t + 1\cdot\sin t.

Passo 5

Igualando coeficientes de \cos(t)\) e \(\sin(t)\) obtemos o sistema linear para \(A\) e \(B\): \[\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] - A + B=1. \end{cases}
Resolva o sistema. Da primeira equação B=-A\]. Substituindo na segunda: \[- A + (-A)=1 \quad\Rightarrow\quad -2A=1 \quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{2}.\] Logo \(B=-A=\tfrac{1}{2}.]

Passo 6

Escreva a solução particular encontrada. Substituindo A e B em y_p:
y_p(t) = -\tfrac{1}{2}\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t = \tfrac{1}{2}\bigl(\sin t - \cos t\bigr).
Justificativa final (por que é o estado estacionário): a solução geral da equação é y(t)=y_h(t)+y_p(t) onde y_h é solução da homogênea. As raízes do polinômio característico \;r^2+r+2=0\; são r=\dfrac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}, com parte real negativa -\tfrac{1}{2}, logo y_h(t) contém termos exponencialmente decrescentes. Assim, para tempos grandes os transientes y_h morrem e resta apenas y_p, que é exatamente o estado estacionário periódico dado acima.

Resposta

y_{\text{est}}(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin t - \cos t\bigr)

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