Identifique a função z=f(x, y) como combinação de funções elementares do cálculo e deduza que ela é contínua em seu domínio.
f(x, y)=xy^2-1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=xy^2-1
definida em seu domínio natural
D=(x,y)in R^2mid y^2-1neq 0=(x,y)mid yneq pm1
O objetivo é ver que f pode ser obtida por operações elementares (projeções, soma, produto, diferença, quociente) de funções conhecidas e, com isso, deduzir que f é contínua em D.

Passo 2

Vamos decompor f em funções mais simples:
p1(x,y)=x (projeção na primeira coordenada), contínua em R^2.
p2(x,y)=y (projeção na segunda coordenada), contínua em R^2.
– Definimos r(x,y)=p2(x,y)cdot p2(x,y)=y^2, produto de projeções, logo contínuo em R^2.
– Definimos h(x,y)=r(x,y)-1=y^2-1, diferença de contínuas, logo contínua em R^2.
– Finalmente, f(x,y)=dfracp1(x,y)h(x,y), quociente de contínuas.

Passo 3

Pelo fato de soma, produto e diferença de funções contínuas serem contínuas, sabemos que p1, r e h são contínuas em R^2. Além disso, a operação quociente
Q(u,v)=uv
é contínua em (u,v)in R^2mid vneq 0. Como em D temos h(x,y)=y^2-1neq0, a composição
f(x,y)=Ql(p1(x,y),,h(x,y)r)
é contínua em todo D.

Resposta

A função
f(x,y)=xy^2-1
é contínua em seu domínio
D=(x,y)in R^2mid yneq pm1

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