Identifique a função
como combinação de funções elementares do cálculo e deduza que ela é contínua em seu domínio.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida em seu domínio natural
O objetivo é ver que
pode ser obtida por operações elementares (projeções, soma, produto, diferença, quociente) de funções conhecidas e, com isso, deduzir que
é contínua em
.
Passo 2
Vamos decompor
em funções mais simples:
– (projeção na primeira coordenada), contínua em
.
– (projeção na segunda coordenada), contínua em
.
– Definimos , produto de projeções, logo contínuo em
.
– Definimos , diferença de contínuas, logo contínua em
.
– Finalmente, , quociente de contínuas.
–
–
– Definimos
– Definimos
– Finalmente,
Passo 3
Pelo fato de soma, produto e diferença de funções contínuas serem contínuas, sabemos que
,
e
são contínuas em
. Além disso, a operação quociente
é contínua em
. Como em
temos
, a composição
é contínua em todo
.
Resposta
A função
é contínua em seu domínio