Seja F=(z^2, z sin y, 2 z+a x z+b cos y)
Determine a e b para que F seja conservativo.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
vec F(x,y,z) = l(z^2,;zsin y,;2z + a,x,z + bcos yr)
e pede os valores de a e b para que vec F seja conservativo. Vamos usar a condição
nabla times vec F = vec 0 num domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Chamando
P = z^2, Q = zsin y, R = 2z + a,x,z + bcos y,
a condição nablatimesvec F=0 equivale a
partial Ppartial y=partial Qpartial x, partial Ppartial z=partial Rpartial x, partial Qpartial z=partial Rpartial y

Passo 3

Calculamos a primeira igualdade:
partial Ppartial y =partial (z^2)partial y=0, partial Qpartial x =partial (zsin y)partial x=0
Como 0=0, essa condição não impõe nada sobre a ou b.

Passo 4

Agora a segunda igualdade:
partial Ppartial z =d(z^2)dz=2z, partial Rpartial x =partial (2z + a,x,z + bcos y)partial x = a,z
Para a,z = 2z em todo z é necessário
a=2

Passo 5

Finalmente a terceira igualdade (já com a=2):
partial Qpartial z =partial (zsin y)partial z=sin y, partial Rpartial y =partial (2z + 2xz + bcos y)partial y =-,bsin y
Para -bsin y = sin y em todo y vale
b=-1

Resposta

a=2, b=-1

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