Identifique a(s) hipótese(s) e a tese em cada um dos teoremas a seguir. Caso não ocorra, reescreva cada sentença em sua forma condicional.
n \in \mathbb{Z}, n=5 \Longrightarrow 2^{2^{n}}+1 não é primo.

Passo 1

O enunciado nos fornece a sentença
n\in\mathbb{Z},\; n=5 \Longrightarrow 2^{2^{n}}+1 \text{ não é primo}.ãé
O que ele pede:
  • Identificar qual(is) é(são) a(s) hipótese(s) e qual é a tese dessa sentença.
  • Caso a sentença não esteja na forma condicional, reescrevê‑la na forma condicional.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (explicitamente):
  • \,n\in\mathbb{Z}\,.
  • \,n=5\,.
  • A consequência indicada: 2^{2^{n}}+1 não é primo.

Passo 2

O que significa “hipótese” e “tese” aqui (aspas pedagógicas rápidas).
  • Em lógica matemática, uma sentença do tipo P\Longrightarrow Q é uma implicação.
    • A hipótese (ou antecedente) é a parte P — aquilo que se assume.
    • A tese (ou consequente) é a parte Q — aquilo que se quer concluir.
      Exemplo simples: na implicação “Se chove, então a rua fica molhada”, a hipótese é “chove” e a tese é “a rua fica molhada”.

Passo 3

Identificando as partes na sentença dada:
A sentença dada tem claramente a forma P\Longrightarrow Q, com
  • P sendo a conjunção das condições escritas antes da seta: “ n\in\mathbb{Z},\; n=5”. Ou seja, P é a afirmação " n\in\mathbb{Z} e n=5".
  • Q sendo a afirmação após a seta: " 2^{2^{n}}+1 não é primo".
Logo, de forma direta:
  • Hipótese: n\in\mathbb{Z} e n=5.
  • Tese: 2^{2^{n}}+1 não é primo.

Passo 4

Observação sobre redundância (didática):
  • A condição n=5 já implica n\in\mathbb{Z}, porque o número 5 pertence a \mathbb{Z}. Portanto, n\in\mathbb{Z} é redundante quando aparece junto com n=5.
  • Assim, uma forma mais enxuta da hipótese é simplesmente n=5. Ambas as formas ( n\in\mathbb{Z} e n=5 ou só n=5) representam a mesma informação prática para a implicação.

Passo 5

Reescrevendo a sentença na forma condicional clara e habitual (linguagem “Se … então …”):
  • Forma equivalente e limpa:
\text{Se }n=5\text{, então }2^{2^{n}}+1\text{ não é primo.}ããé
ou, mantendo a menção explícita ao domínio:
\text{Se }n\in\mathbb{Z}\text{ e }n=5\text{, então }2^{2^{n}}+1\text{ não é primo.}ããé
Ambas são condicionais equivalentes; a primeira é mais sucinta porque elimina a redundância.

Passo 6

Um comentário final curto (motivacional e útil): para quem for curioso, avaliando a tese com n=5 obtemos \,2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297, que de fato é composto (por exemplo 4294967297=641\cdot6700417). Isso confirma que a conclusão é verdadeira para n=5, mas a questão original só pedia identificar hipótese e tese e reescrever condicionalmente.

Resposta

Hipótese: n\in\mathbb{Z} e n=5.
Tese: 2^{2^{n}}+1 não é primo.
Forma condicional (equivalente e mais enxuta): Se n=5, então 2^{2^{n}}+1 não é primo.

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