Identifique a(s) hipótese(s) e a tese em cada um dos teoremas a seguir. Caso não ocorra, reescreva cada sentença em sua forma condicional.
Se uma matriz quadrada possui uma linha ou uma coluna de elementos nulos, então seu determinante é nulo.

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique a(s) hipótese(s) e a tese do seguinte teorema (já apresentado em linguagem condicional):
\text{Se uma matriz quadrada possui uma linha ou uma coluna de elementos nulos, então seu determinante é nulo.}ãé
Vou primeiro deixar claro o que se entende por “hipótese” e “tese” numa sentença condicional antes de apontá-las.

Passo 2

O que são “hipótese” e “tese” numa sentença condicional?
  • A hipótese (ou antecedente) é a parte que vem depois de “Se …”: é a condição que se assume verdadeira.
  • A tese (ou consequente) é a parte que vem depois de “então …”: é a conclusão que se afirma a partir da hipótese.

Passo 3

Identificando explicitamente a hipótese do teorema. A hipótese é:
\text{Existe uma matriz quadrada }A\text{ (digamos }A\in M_{n}(\mathbb{K})\text{) que possui uma linha ou uma coluna de elementos nulos.}
Em forma mais simbólica e direta: " A é uma matriz n\times n e alguma linha de A é o vetor nulo (ou alguma coluna de A é o vetor nulo)."

Passo 4

Identificando a tese do teorema. A tese é a afirmação:
\det(A)=0.
Ou seja, a conclusão é que o determinante da matriz A vale zero.

Passo 5

Observação sobre a formulação “linha ou coluna”: trata-se de um “ou” inclusivo — basta que haja pelo menos uma linha inteira composta por zeros ou pelo menos uma coluna inteira composta por zeros. Note que o caso da coluna pode ser reduzido ao caso da linha usando a propriedade \det(A)=\det(A^{T}): se A tem uma coluna nula, então A^{T} tem uma linha nula, e daí \det(A^{T})=0 implica \det(A)=0.

Passo 6

Breve justificativa (didática) de por que a tese segue da hipótese — isso ajuda a entender e a lembrar na prova. Usei a expansão por cofatores (laplace) ao longo da linha nula: se a i-ésima linha de A é toda zeros, a expansão por essa linha dá
\det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}C_{ij},
onde a_{ij} são as entradas dessa linha e C_{ij} os cofatores. Mas todos os a_{ij}=0, então a soma é zero, logo \det(A)=0. Isso prova o teorema no caso de linha nula; o caso de coluna nula segue via transposta como mencionei.

Passo 7

Reescrita formal e clara, se for desejável em forma condicional padrão:
\text{Para toda matriz }A\in M_{n}(\mathbb{K}),\\ \bigl(\text{se alguma linha de }A\text{ é nula ou alguma coluna de }A\text{ é nula}\bigr)\Rightarrow \bigl(\det(A)=0\bigr).éé

Resposta

Hipótese: A é uma matriz quadrada n\times n que possui uma linha de elementos nulos ou uma coluna de elementos nulos.
Tese: \det(A)=0

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