Identifique a(s) hipótese(s) e a tese em cada um dos teoremas a seguir. Caso não ocorra, reescreva cada sentença em sua forma condicional.
Se uma matriz quadrada possui uma linha ou uma coluna de elementos nulos, então seu determinante é nulo.
Se uma matriz quadrada possui uma linha ou uma coluna de elementos nulos, então seu determinante é nulo.
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique a(s) hipótese(s) e a tese do seguinte teorema (já apresentado em linguagem condicional):
Vou primeiro deixar claro o que se entende por “hipótese” e “tese” numa sentença condicional antes de apontá-las.
Passo 2
O que são “hipótese” e “tese” numa sentença condicional?
- A hipótese (ou antecedente) é a parte que vem depois de “Se …”: é a condição que se assume verdadeira.
- A tese (ou consequente) é a parte que vem depois de “então …”: é a conclusão que se afirma a partir da hipótese.
Passo 3
Identificando explicitamente a hipótese do teorema. A hipótese é:
Em forma mais simbólica e direta: "
é uma matriz
e alguma linha de
é o vetor nulo (ou alguma coluna de
é o vetor nulo)."
Passo 4
Identificando a tese do teorema. A tese é a afirmação:
Ou seja, a conclusão é que o determinante da matriz
vale zero.
Passo 5
Observação sobre a formulação “linha ou coluna”: trata-se de um “ou” inclusivo — basta que haja pelo menos uma linha inteira composta por zeros ou pelo menos uma coluna inteira composta por zeros. Note que o caso da coluna pode ser reduzido ao caso da linha usando a propriedade
: se
tem uma coluna nula, então
tem uma linha nula, e daí
implica
.
Passo 6
Breve justificativa (didática) de por que a tese segue da hipótese — isso ajuda a entender e a lembrar na prova. Usei a expansão por cofatores (laplace) ao longo da linha nula: se a
-ésima linha de
é toda zeros, a expansão por essa linha dá
onde
são as entradas dessa linha e
os cofatores. Mas todos os
, então a soma é zero, logo
. Isso prova o teorema no caso de linha nula; o caso de coluna nula segue via transposta como mencionei.
Passo 7
Reescrita formal e clara, se for desejável em forma condicional padrão:
Resposta
Hipótese:
é uma matriz quadrada
que possui uma linha de elementos nulos ou uma coluna de elementos nulos.
Tese:
Tese: