Identifique os índices livres e os de soma nas equações abaixo e determine quantas equações distintas cada expresssão representa.
T^{\alpha \mu \lambda} A_{\mu} C_{\lambda}^{\gamma}=D^{\gamma \alpha}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
T^{\alpha \mu \lambda} A_{\mu} C_{\lambda}^{\gamma}=D^{\gamma \alpha}
e pede duas coisas:
  • identificar quais são os índices livres e quais são os índices de soma nessa igualdade;
  • determinar quantas equações escalares distintas essa única igualdade tensorial representa (ou seja, quantas componentes escalares são impostas).
Informações úteis explícitas: os índices que aparecem na expressão são \alpha,\mu,\lambda,\gamma. Não foi dada a dimensão do espaço-tensorial; vou chamar essa dimensão de \,n\, (ou seja cada índice toma valores 1,\dots,n) e, quando for conveniente, darei exemplos numéricos (por exemplo n=3 ou n=4).

Passo 2

O que significa “índice de soma” e “índice livre” (regra prática):
  • Índice de soma (ou dummy): é um índice que aparece repetido na mesma expressão (normalmente uma vez em cima e uma vez embaixo) e que, pela convenção de Einstein, indica somatório sobre todos os seus valores possíveis. Ex.: se \mu aparece duas vezes numa expressão, então há implicitamente \sum_{\mu=1}^n.
  • Índice livre: é um índice que aparece exatamente uma vez em cada termo da igualdade (não é somado). Ele rotula componentes diferentes da equação. Para cada escolha de valores desses índices livres obtém-se uma equação escalar independente.
Dica prática para identificar: percorra a expressão e veja, para cada índice, quantas vezes aparece. Se aparece duas vezes na mesma termo (ou no mesmo membro enquanto a convenção de soma for aplicada), é de soma; se aparece uma vez em cada membro (sem repetição dentro de um membro), é livre.

Passo 3

Aplicando essa regra à expressão dada:
  • O índice \mu aparece em T^{\alpha \mu \lambda} e em A_{\mu}. Ou seja, \mu aparece duas vezes (uma vez em cima em T e uma vez embaixo em A) → índice de soma.
  • O índice \lambda aparece em T^{\alpha \mu \lambda} e em C_{\lambda}^{\gamma}. Ou seja, \lambda aparece duas vezes → índice de soma.
  • O índice \alpha aparece em T^{\alpha \mu \lambda} e em D^{\gamma \alpha}, mas em cada membro aparece apenas uma vez (não está repetido no mesmo membro) → índice livre.
  • O índice \gamma aparece em C_{\lambda}^{\gamma} e em D^{\gamma \alpha}, novamente uma vez por membro → índice livre.
Portanto: índices de soma (dummy) são \mu e \lambda; índices livres são \alpha e \gamma.

Passo 4

Escrevendo a igualdade em componentes explícitos (transformando a soma implícita em somas explícitas) para fixar um par de valores das variáveis livres:
fixe \alpha=i e \gamma=j com i,j\in\{1,\dots,n\}. Então a componente correspondente é
\sum_{\mu=1}^{n}\sum_{\lambda=1}^{n} T^{i\mu\lambda}\,A_{\mu}\,C_{\lambda}^{\,j}=D^{j i}.
Isso é uma equação escalar (número) para cada par (i,j).

Passo 5

Contagem do número de equações:
  • \alpha pode assumir n valores.
  • \gamma pode assumir n valores.
    Cada par (\alpha,\gamma) dá uma equação escalar independente (na forma mostrada no Passo 4). Logo o número total de equações distintas representadas é
n\times n = n^{2}.
Exemplos concretos: se n=3 então são 3^{2}=9 equações; se n=4 então 4^{2}=16 equações.
Observação final: se alguns tensores tiverem simetrias especiais ou dependências (por exemplo D^{\gamma\alpha} simétrico ou T com simetrias), o número de equações independentes efetivas pode ser menor. Mas a contagem acima é a contagem bruta das componentes escalares impostas pela igualdade sem considerar relações adicionais entre componentes dos tensores.

Resposta

Índices livres: \alpha e \gamma
Índices de soma (dummy): \mu e \lambda
Número de equações distintas: n^{2} (onde n é a dimensão do espaço de índices; ex.: n=3\Rightarrow 9 equações, n=4\Rightarrow 16 equações)

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