Identifique os índices livres e os de soma nas equações abaixo e determine quantas equações distintas cada expresssão representa.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede duas coisas:
- identificar quais são os índices livres e quais são os índices de soma nessa igualdade;
- determinar quantas equações escalares distintas essa única igualdade tensorial representa (ou seja, quantas componentes escalares são impostas).
Informações úteis explícitas: os índices que aparecem na expressão são
. Não foi dada a dimensão do espaço-tensorial; vou chamar essa dimensão de
(ou seja cada índice toma valores
) e, quando for conveniente, darei exemplos numéricos (por exemplo
ou
).
Passo 2
O que significa “índice de soma” e “índice livre” (regra prática):
- Índice de soma (ou dummy): é um índice que aparece repetido na mesma expressão (normalmente uma vez em cima e uma vez embaixo) e que, pela convenção de Einstein, indica somatório sobre todos os seus valores possíveis. Ex.: se
aparece duas vezes numa expressão, então há implicitamente . - Índice livre: é um índice que aparece exatamente uma vez em cada termo da igualdade (não é somado). Ele rotula componentes diferentes da equação. Para cada escolha de valores desses índices livres obtém-se uma equação escalar independente.
Dica prática para identificar: percorra a expressão e veja, para cada índice, quantas vezes aparece. Se aparece duas vezes na mesma termo (ou no mesmo membro enquanto a convenção de soma for aplicada), é de soma; se aparece uma vez em cada membro (sem repetição dentro de um membro), é livre.
Passo 3
Aplicando essa regra à expressão dada:
- O índice
aparece em e em . Ou seja, aparece duas vezes (uma vez em cima em e uma vez embaixo em ) → índice de soma. - O índice
aparece em e em . Ou seja, aparece duas vezes → índice de soma. - O índice
aparece em e em , mas em cada membro aparece apenas uma vez (não está repetido no mesmo membro) → índice livre. - O índice
aparece em e em , novamente uma vez por membro → índice livre.
Portanto: índices de soma (dummy) são
e
; índices livres são
e
.
Passo 4
Escrevendo a igualdade em componentes explícitos (transformando a soma implícita em somas explícitas) para fixar um par de valores das variáveis livres:
fixe e
com
. Então a componente correspondente é
fixe
Isso é uma equação escalar (número) para cada par
.
Passo 5
Contagem do número de equações:
-
pode assumir valores. -
pode assumir valores.
Cada pardá uma equação escalar independente (na forma mostrada no Passo 4). Logo o número total de equações distintas representadas é
Exemplos concretos: se
então são
equações; se
então
equações.
Observação final: se alguns tensores tiverem simetrias especiais ou dependências (por exemplo
simétrico ou
com simetrias), o número de equações independentes efetivas pode ser menor. Mas a contagem acima é a contagem bruta das componentes escalares impostas pela igualdade sem considerar relações adicionais entre componentes dos tensores.
Resposta
Índices livres:
e
Índices de soma (dummy): e
Número de equações distintas: (onde
é a dimensão do espaço de índices; ex.:
equações,
equações)
Índices de soma (dummy):
Número de equações distintas: