Identifique a linha cujas equações são 2 x-1=4 y+8=3 z-5. Ache o vetor diretor e três pontos que pertençam a essa reta.

Passo 1

O enunciado pede a reta em R^3 dada pelas equações simétricas
2x - 1 ;=; 4y + 8 ;=; 3z - 5,
ou seja, queremos passar dessa forma simétrica para a forma paramétrica, de modo a identificar um vetor diretor e alguns pontos que satisfaçam essas igualdades.

Passo 2

Introduzimos um parâmetro t igual a esse valor comum:
2x - 1 ;=; 4y + 8 ;=; 3z - 5 ;=; t

Passo 3

Resolvendo cada igualdade para x, y e z em função de t, temos
2x - 1 = t Longrightarrow x = t + 12,
4y + 8 = t Longrightarrow y = t - 84,
3z - 5 = t Longrightarrow z = t + 53

Passo 4

Escrevendo em forma vetorial,
(x,y,z) = l(tfrac12,,-2,,tfrac53r) ;+;t;l(tfrac12,;tfrac14,;tfrac13r)
Dessa expressão vemos que um vetor diretor da reta é
v = l(tfrac12,;tfrac14,;tfrac13r)
Multiplicando por 12 para obter coeficientes inteiros, uma escolha equivalente é
v = (6,3,4)

Passo 5

Para encontrar três pontos distintos na reta, basta atribuir valores diferentes a t. Por exemplo:
  • Para t=0:
    P1 = l(tfrac0+12,,tfrac0-84,,tfrac0+53r) = l(tfrac12,,-2,,tfrac53r)
  • Para t=4:
    P2 = l(tfrac4+12,,tfrac4-84,,tfrac4+53r) = l(tfrac52,,-1,,3r)
  • Para t=7:
    P3 = l(tfrac7+12,,tfrac7-84,,tfrac7+53r) = l(4,,-tfrac14,,4r)

Resposta

Vetor diretor:
v = (6,3,4)
Três pontos na reta:
P1 = l(tfrac12,,-2,,tfrac53r), P2 = l(tfrac52,,-1,,3r), P3 = l(4,,-tfrac14,,4r)

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