Seja y(x)=sumn=0^infty ann! x^n uma série de potências. Determine a relação de recorrência que an deve satisfazer para que y(x) seja uma solução da equação:
y^prime prime+x y^prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a relação de recorrência dos coeficientes an de uma série de potências \
y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} x^{n} \
que satisfaz à equação diferencial
y’’ + x y’ + 2y = 0. O conteúdo é expansão em série de potências e igualação de coeficientes.

Passo 2

Vamos escrever as derivadas de y(x) em série de potências. Como
y(x)=sumn=0^infty ann! x^n,
diferenciando temos em bloco:
y'(x)=sumn=1^infty an(n-1)! x^n-1 = sumn=0^infty an+1n! x^n,
y''(x)=sumn=0^infty an+2n! x^n

Passo 3

Agora expandimos o termo x y'(x):
x,y' = x sumn=0^infty an+1n! x^n = sumn=0^infty an+1n! x^n+1 = sumn=1^infty an(n-1)! x^n

Passo 4

Substituímos tudo em
y'' + x y' + 2y = 0
e agrupamos os coeficientes de x^n. Para n>=0 obtemos:
an+2n! + an(n-1)! + 2ann! = 0,
lembrando que o segundo termo só aparece para n>=1, mas para n=0 dá corretamente a2+2a0=0.

Passo 5

Multiplicando a expressão por n! obtemos a relação de recorrência:
an+2 + n,an + 2,an = 0 Longrightarrow an+2 = -(n+2),an,
válida para todo n>=0.

Resposta

an+2 = -(n+2),an, n>=0.

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