Seja
uma série de potências. Determine a relação de recorrência que
deve satisfazer para que
seja uma solução da equação:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a relação de recorrência dos coeficientes
de uma série de potências \
y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} x^{n} \
que satisfaz à equação diferencial
y’’ + x y’ + 2y = 0. O conteúdo é expansão em série de potências e igualação de coeficientes.
y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} x^{n} \
que satisfaz à equação diferencial
y’’ + x y’ + 2y = 0. O conteúdo é expansão em série de potências e igualação de coeficientes.
Passo 2
Vamos escrever as derivadas de
em série de potências. Como
diferenciando temos em bloco:
Passo 3
Agora expandimos o termo
:
Passo 4
Substituímos tudo em
e agrupamos os coeficientes de
lembrando que o segundo termo só aparece para
, mas para
dá corretamente
.
Passo 5
Multiplicando a expressão por
obtemos a relação de recorrência:
válida para todo