Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em R^2 :
a) lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==x1 y1+x1 y2+x2 y2;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= ;=; x1y1 ;+; x1y2 ;+; x2y2
define um produto interno em R^2. Para isso, precisamos checar se ela satisfaz as três propriedades de um produto interno:
  1. bilinearidade em cada argumento;
  2. simetria;
  3. positividade definida.

Passo 2

Verificamos a bilinearidade. Seja alphainR e u=(x1,x2),u'=(x'1,x'2),v=(y1,y2).
– Homogeneidade em escala:
lang<= alpha u, vrang<= =alpha x1y1+alpha x1y2+alpha x2y2 =alphal(x1y1+x1y2+x2y2r) =alphalang<= u,vrang<=
– Aditividade:
lang<= u+u',vrang<= =(x1+x'1)y1+(x1+x'1)y2+(x2+x'2)y2 =lang<= u,vrang<=+lang<= u',vrang<=
Logo, a forma é bilinear.

Passo 3

Verificamos a simetria. Para u=(x1,x2) e v=(y1,y2),
lang<= u,vrang<= =x1y1+x1y2+x2y2, lang<= v,urang<= =y1x1+y1x2+y2x2
Subtraindo, obtemos
lang<= u,vrang<=-lang<= v,urang<= =x1y2-x2y1,
que não é zero em geral. Portanto a forma não é simétrica e falha nessa propriedade.

Passo 4

Para completar, poderíamos checar positividade definida:
lang<= u,urang<= =x1^2+x1x2+x2^2
O discriminante de r^2+r+1 é negativo, logo isso é sempre positivo para uneq 0. Assim a forma seria positiva definida, mas como falha a simetria, não é produto interno.

Resposta

a) não define um produto interno em R^2.

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