Identifique quais dos produtos abaixo definem um produto interno em
:
a)
;
a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
define um produto interno em
. Para isso, precisamos checar se ela satisfaz as três propriedades de um produto interno:
- bilinearidade em cada argumento;
- simetria;
- positividade definida.
Passo 2
Verificamos a bilinearidade. Seja
e
.
– Homogeneidade em escala:
– Homogeneidade em escala:
– Aditividade:
Logo, a forma é bilinear.
Passo 3
Verificamos a simetria. Para
e
,
Subtraindo, obtemos
que não é zero em geral. Portanto a forma não é simétrica e falha nessa propriedade.
Passo 4
Para completar, poderíamos checar positividade definida:
O discriminante de
é negativo, logo isso é sempre positivo para
. Assim a forma seria positiva definida, mas como falha a simetria, não é produto interno.
Resposta
a) não define um produto interno em
.